Em que ponto as curvas r 1 t = t ,   1 - t ,   3 + t 2 e r 2 s = 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 se interseptam? Determine o ângulo entre elas no ponto de interseção.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas curvas parametrizadas, r 1 t = t ,   1 - t ,   3 + t 2 e r 2 s = 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 , e quer que a gente determine o ponto onde elas se encontram e o ângulo entre elas nesse ponto.

Para encontrar o ponto de intersecção das curvas dadas, vamos igualar as duas equações vetoriais, fazendo:

r 1 t = r 2 ( s )

A partir daí teremos três equações, relativas as componentes dos vetores. Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de t e s que satisfazem essas equações simultaneamente. Em seguida, vamos obter o ângulo entre as curvas usando a equação:

cos ⁡ θ = r 1 ' t ⋅ r 2 ' s r 1 ' t r 2 ' s

usando o ponto de interseção encontrado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar determinando o ponto de intersecção das curvas, igualando as duas:

r 1 t = r 2 ( s )

t ,   1 - t ,   3 + t 2 = ( 3 - s ,   s - 2 ,   s 2 )

Da igualdade acima obtemos 3 equações:

t = 3 - s ,     1 - t = s - 2 ,     3 + t 2 = s 2

Para encontrar o ponto de intersecção das curvas devemos encontrar os valores de t e s que satisfazem as equações simultaneamente. As 2 primeiras equações são equivalentes, por isso, utilizaremos a primeira e a terceira para encontrar os valores procurados.

Da primeira equação temos t = 3 - s . Substituindo t na terceira equação teremos:

3 + 3 - s 2 = s 2

3 + 9 - 6 s + s 2 = s 2

6 s = 12

s = 2

Sendo s = 2 , temos t = 1 .

Portanto, o ponto de intersecção das curvas é dado por

r 1 1 = r 2 2 = ( 1 ,   0 ,   4 )

Passo 3

Agora, para descobrir o ângulo de intersecção das curvas, vamos primeiro calcular as derivadas das curvas, que representam a equação geral do vetor tangente à cada uma delas. Assim, temos:

r 1 ' t = ( 1 ,   - 1 ,   2 t )

r 2 ' s = ( - 1,1 ,   2 s )

No ponto de intersecção os vetores tangentes são dados por

r 1 ' 1 = ( 1 ,   - 1 ,   2 )

r 2 ' 2 = ( - 1 ,   1 ,   4 )

Passo 4

Agora que temos os vetores tangentes vamos calcular o produto escalar entre eles:

r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 = 1 ,   - 1 ,   2 ⋅ - 1 ,   1 ,   4 = - 1 - 1 + 8 = 6

Além disso, sabemos que o produto escalar também pode ser dado pela segunte fórmula:

r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 = r 1 ' 1 r 2 ' 2 cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo entre os vetores.

Isolando o termo cos ⁡ θ temos

cos ⁡ θ = r 1 ' 1 ⋅ r 2 ' 2 r 1 ' 1 r 2 ' 2

Agora, substituindo os valores que encontramos nessa equação, obtemos:

cos ⁡ θ = 6 1 2 + - 1 2 + 2 2 ∙ - 1 2 + 1 2 + 4 2

cos ⁡ θ = 6 6 18 = 6 6 3 = 1 3

O ângulo θ é dado, então, por:

θ = arccos ⁡ 1 3 ≈ 55 °

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r 1 1 = r 2 2 = ( 1 ,   0 ,   4 )

θ ≈ 55 °

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π