1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

a. C = x , y , z ∈ R 3   : x 2 + y 2 = z   e   z = 2 y ;

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas x 2 + y 2 = z e z = 2 y .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos um paraboloide que é intersectado pelo plano z = 2 y .

Ou seja, temos uma curva dada por

S = x , y , z ,     x , y , z ∈ R

Se igualarmos as duas equações de z , chegamos em

x 2 + y 2 = z = 2 y

x 2 + y 2 = 2 y

x 2 + y 2 - 2 y = 0

Completando quadrados em y 2 - 2 y , temos que a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 , se a = y e b = 1 , temos

x 2 + y - 1 2 = 0

Mas nesse casso corrompemos a igualdade pois adicionamos b 2 no lado esquerdo, então para equilibrar novamente vamos somar b 2 também no lado direito.

x 2 + y - 1 2 = 1

Perceba que encontramos uma simetria polar no nosso problema, então podemos usar a parametrização em coordenadas polares fazendo

x = r cos ⁡ t y = r sin ⁡ t

Pela equação x 2 + y - 1 2 = 1 , vemos que r = 1 e que para satisfazer a igualdade, o termo y tem que se somar a uma unidade, ou seja

x = cos ⁡ t y = sin ⁡ t + 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Já encontramos x e y parametrizados, agora vamos substituir y no plano z = 2 y para obter a parametrização de z

z = 2 y → z = 2 sin ⁡ t + 1

z = 2 sin ⁡ t + 2

Assim, descrevendo x , y e z de forma parametrizada, podemos obter acurva completa fazendo

S t = cos ⁡ t , sin ⁡ t + 1 ,   2 sin ⁡ t + 2 ,     t ∈ 0,2 π

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

S t = cos ⁡ t , sin ⁡ t + 1 ,   2 sin ⁡ t + 2 ,     t ∈ 0,2 π

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π