Esboce cada curva parametrizada a seguir e determine seu comprimento.

(b) A espiral logarítmica β t = ( e t cos ⁡ t ,   e t sin ⁡ t ) com 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por β t = ( e t cos ⁡ t ,   e t sin ⁡ t ) com 0 ≤ t ≤ 2 π e nós precisamos determinar o comprimento dela e esboçar a curva no gráfico.

O comprimento de uma curva parametrizada é definida da mesma forma que o comprimento de uma curva plana com equações paramétricas. Se a curva é percorrida exatamente uma vez, à medida que t cresce de a para b , seu comprimento é determinado pela equação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

No nosso caso, o intervalo [ a ,   b ] é dado por [ 0 ,   2 π ] . Além disso, nossas componentes no vetor nos dão x t = e t cos ⁡ t e y t = e t sin ⁡ t . Derivando x e y em relação a t , elevando ao quadrado, somando os dois resultados e calculando a raiz quadrada, vamos conseguir calcular a integral do comprimento de arco definida por L .

Vamos lá!

Passo 2

Galera, o integrando d x d t 2 + d y d t 2 pode ser escrito de maneira mais compacta como o módulo do vetor β ' ( t ) , ou seja:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ a b α ' ( t )   d t

Então, vamos começar calculando esse módulo. Para x t = e t cos ⁡ t e y t = e t sin ⁡ t , temos as derivadas:

d x d t = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t

d y d t = e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t

Colocando a na fórmula do módulo:

β ' ( t ) = d x d t 2 + d y d t 2

β ' ( t ) = e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t 2 + e t sin ⁡ t + e t cos ⁡ t 2

Elevando as componentes ao quadrado:

= e 2 t cos 2 ⁡ t - 2 e 2 t cos ⁡ t sin ⁡ t + e 2 t sin 2 ⁡ t + e 2 t sin 2 ⁡ t + 2 e 2 t cos ⁡ t sin ⁡ t + e 2 t cos 2 ⁡ t

Colocando e 2 t em evidência e usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos:

e 2 t ( cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + sin 2 ⁡ t ) + e 2 t ( sin 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

e 2 t ( - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + 1 ) + e 2 t ( 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + 1 )

Então, temos:

- 2 e 2 t cos ⁡ t sin ⁡ t + e 2 t + 2 e 2 t cos ⁡ t sin ⁡ t + e 2 t )

Simplificando:

e 2 t + e 2 t = 2 e 2 t

Tirando a raiz de e 2 t , temos:

β ' ( t ) = 2 e t

E ficou bem mais simples de integrar, né? Então, vamos lá.

Passo 3

Substituindo o valor que encontramos para β ' ( t ) na nossa integral, temos:

∫ a b β ' ( t )   d t = ∫ 0 2 π 2 e t   d t

Colocando a constante 2 do lado de fora da integral:

2 ∫ 0 2 π e t   d t

Integrando a nossa função:

= 2 e t | 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

2 e t | 0 2 π = 2 e 2 π - 2 e 0

= 2 e 2 π - 2

Colocando 2 em evidência, temos:

L = 2 ( e 2 π - 1 )

Plotando nossa trajetória no plano cartesiano e no espaço tridimensional, temos:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 2 ( e 2 π - 1 )

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π