(Cap. 13.2 - Ex. 24) Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = e t ,     y = t e t ,     z = t e t 2 ;   ( 1,0 , 0 )

Passo 1

Fala aí, meu povo!! Tudo bem com vocês? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

O enunciado desse exercício aqui é bem direto e já passa pra gente algumas equações que serão importantes pra entender como vamos resolver. Então bora lá!

O objetivo aqui é encontrar as equações paramétricas pra uma reta tangente à uma curva que foi dada. E o que isso quer dizer?

Precisamos lembrar aqui, que se a gente tem uma curva parametrizada (que vamos chamar de γ ( t ) ), e temos um ponto p nessa mesma curva, esse ponto nada mais é do que a seguinte junção: γ p = x p ,   y p ,   z ( p ) , que é chamada de equação vetorial.

Essa sacada do que compõe esse ponto em uma curva parametrizada vai ser a chave pra gente resolver esse probleminha aqui!

Então, seguindo a linha de raciocínio, se eu quero encontrar as equações paramétricas da reta tangente, nós vamos precisar de um ponto e uma direção. Se a gente tiver um ponto e uma direção, encontramos a reta. E pra esse caso aqui, a direção será dada pela derivada, já que queremos a reta tangente, e o ponto o enunciado deu pra gente.

Bom, então primeiro vamos escrever a equação vetorial para a curva, a partir dos dados que foram fornecidos no enunciado:

γ t = 〈 x , y , z 〉

γ t = 〈 e t , t e t , t e t 2 〉

E partindo pra derivada, nós vamos utilizar o método da derivada termo a termo:

γ ' t = 〈 ( e t ) ,   ( t e t + e t ) ,   ( 2 t 2 e t 2 + e t 2 )   〉

Passo 2

Agora, a gente vai fazer uma relação entre os pontos que foram dados, com as equações dadas de x ,   y   e z . E por que isso? Essa relação vai servir pra gente determinar o tempo t para que a curva esteja no ponto P ( 1,0 , 0 ) .

A relação é a seguinte:

{ x t = e t = 1   y t = t e t = 0   z t = t e t 2 = 0  

Pra resolver a relaçãozinha feita ali em cima, basta a gente resolver cada uma delas separadamente pra avaliar os valores de t encontrados. Vamso ter então:

e t = 1     →     t = 0

t e t = 0     →       t = 0

t e t 2 = 0     →       t = 0

Então, vemos que o ponto P ( 1,0 , 0 ) corresponde a t = 0 . A partir disso, quando a gente substituir t nas derivadas de x ,   y   e z feitas no item anterior, vamos encontrar o vetor tangente:

γ ' 0 = 〈 ( e 0 ) ,   ( 0 e 0 + e 0 ) ,   ( 2 * 0 2 e 0 2 + e 0 2 ) 〉

Isso implica que o vetor é:

γ ' 0 = 〈 1,1 , 1 〉

Assim, a gente consegue ver aqui, que a linha tangente é paralela ao vetor 〈 1,1 , 1 〉 e inclui o ponto P ( 1,0 , 0 ) .

Passo 3

Por fim, pra gente encontrar as equações paramétricas, da literatura, sabemos que a equação paramétrica é a soma do ponto P com o vetor γ ' ( 0 ) . Então:

r = P + ( t * γ ' 0 )

Fazendo isso para x ,   y e z , vamos ter que:

x = 1 + ( 1 ⋅ t ) = 1 + t

y = 0 + ( 1 ⋅ t ) = t

z = 0 + ( 1 ⋅ t ) = t

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

x = 1 + t

y = t

z = t

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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