Considere a curva parametrizada por r ( t ) = ( t 3 + 1 ,   2 3 ( t + 1 ) 3 ,   t - 1 ) , com t ∈ ℝ .

b ) Determine o ângulo de interseção, isto é, o ângulo entre a curva e o plano- x y no ponto P .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Temos aqui a parametrização de uma curva

r ( t ) = ( t 3 + 1 ,   2 3 ( t + 1 ) 3 ,   t - 1 )

queremos encontrar o ângulo de interseção, que é o ângulo entre a curva e o plano- x y no ponto P . Este ponto foi obtido na alternativa anterior como

P = ( 0,0 , - 2 )

O ângulo será o ângulo da reta tangente à curva no ponto P , definida como

X ( s ) = P + r ' ( P ) s

Vamos calcular isso primeiro então!

Passo 2

Temos que

r ' ( t ) = d d t [ r ( t ) ]

e, calculando a derivada em todos os termos da parametrização, temos que

r ' ( t ) = ( 3 t 2 , t + 1 , 1 )

em que usei a regra do tombo e simplifiquei o segundo termo. O ponto P foi obtido na interseção com o plano x z , ou quando y = 0 , portanto, em t = - 1 , sendo assim, no ponto P , a nossa derivada é

r ' ( t ) = ( 3,0 , 1 )

e, a parametrização da reta tangente é

X ( s ) = ( 0,0 , - 2 ) + ( 3,0 , 1 ) s = ( 3 s , 0 , s - 2 )

Vamos agora encontrar o ângulo dessa reta com o plano- x y !

Passo 3

O ângulo entre a reta e um plano pode ser obtido calculando o ângulo entre o vetor diretor da reta e um vetor do plano. O vetor diretor da reta é dado por

v → = ( 3,0 , 1 )

um vetor pertencente ao plano- x y pode ser qualquer vetor com a coordenada z = 0 , escolhendo uma que seja simples, temos que

v → p l a n o = ( 1,0 , 0 )

E, portanto, podemos obter o ângulo como

v → ⋅ v → p l a n o = | | v → | | | | v → p l a n o | | c o s ( θ )

do lado esquerdo temos um produto escalar, e do lado direito as normas dos vetores! Vamos abrir essas contas!

Passo 4

Usando a definição de produto escalar, temos que

v → ⋅ v → p l a n o = ( 3,0 , 1 ) ⋅ ( 1,0 , 0 ) = 3

e, calculando as normas de ambos os vetores, temos que

| | v → | | = ( 3 ) 2 + 0 2 + 1 2 = 10

e, também temos que

| | v → p l a n o | | = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

Portanto, temos que o ângulo é tal que

3 = 10   c o s ( θ )

ou simplesmente

c o s ( θ ) = 3 10 = 3 10 10

Aplicando a inversa a r c c o s ( . . . ) em ambos os lados, temos que

θ ≈ 18,4 °

A questão pedia isso! Bora para a próxima! Tchau Tchau!

Resposta

θ ≈ 18,4 °

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π