A função posição de uma partícula é dada por r t = ( t 2 ,   5 t ,   t 2 - 16 t ) . Determine o instante em que sua velocidade escalar é mínima. Qual é a velocidade escalar mínima?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um vetor posição r t = ( t 2 ,   5 t ,   t 2 - 16 t ) e pediu pra gente determinar a velocidade escalar mínima e o instante t em que isso acontece.

A gente só precisa lembrar que a velocidade escalar da partícula no instante t dada pelo módulo do vetor velocidade, ou seja:

v ( t ) = r ' ( t ) = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

Onde x = t 2 , y = 5 t e z = t 2 - 16 t .

Para calcular o vetor velocidade, basta a gente derivar o vetor posição r t . Em seguida, vamos igualar esse vetor a zero, para descobrir o valor de t nos instantes de velocidade zero. Então, derivamos novamente e igualamos a zero para descobrir o ponto de mínimo dessa função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando r t = ( t 2 ,   5 t ,   t 2 - 16 t ) para encontrar o vetor velocidade:

v t = r ' t = ( 2 t ,   5 ,   2 t - 16 )

Agora vamos calcular o módulo desse vetor para obter a velocidade escalar:

v ( t ) = 2 t 2 + 5 2 + 2 t - 16 2

v t = 4 t 2 + 25 + 4 t 2 - 64 t + 256

v ( t ) = 8 t 2 - 64 t + 281

Passo 3

Para encontrar o instante em que a velocidade é nula, vamos derivar a função em v ( t ) e igualar o resultado a zero:

d v d t = 8 ( t - 4 ) 8 t 2 - 64 t + 281 1 / 2

Igualando a zero:

8 ( t - 4 ) 8 t 2 - 64 t + 281 1 / 2 = 0

Como o denominador da fração não pode ser zero, temos:

8 t - 4 = 0

Logo,

8 t = 32 → t = 4

Então, no instante t = 4   s a velocidade escalar é mínima.

Passo 4

Agora para descobrir o valor da velocidade escalar mínima, basta a gente substituir t = 4 na função:

v ( t ) = 8 t 2 - 64 t + 281

Substituindo:

v ( 4 ) = 8 ( 4 ) 2 - 64 ( 4 ) + 281

v ( 4 ) = 153 ≈ 12,37   m / s

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

t = 4   s

12,37   m / s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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