Considere as seguintes curvas:

γ 1 t = t 2 + 2 , - t 2 ; t ∈ R

γ 2 t = - cos 2 ⁡ t + 2 , sin ⁡ t ; t ∈ R

γ 3 t = 3 2 ( e t + e - t ) , 3 2 ( e t - e - t )   ; t ∈ R

É correto afirmar que a imagem de

  1. γ 1 está contida na parábola y = x 2
  2. γ 2 está contida numa circunferência de raio 1 e centro em ( 2,0 )
  3. γ 3 está contida num ramo de uma hipérbole que passa em 3 2 , 0
  4. γ 3 está contida num ramo de uma hipérbole que passa em 3 , 0

Passo 1

Na verdade, o que essa questão quer de nós, é que a gente saiba dizer se a parametrização dessas curvas é igual a parametrização das curvas as que ela se referiu nas alternativas: parábola, circunferência e hipérbole.

Vamos relembrar essas parametrizações então?

A parábola a gente parametriza como uma função explícita, assim se temos

y = x 2

Podemos dizer que

x t = t

E teremos

y t = t 2

E a parametrização da parábola será

x t = t

y t = t 2

t ∈ R

Passo 2

A parametrização da circunferência de raio r e centro em ( x 0 , y 0 ) todo mundo já tá careca de saber:

x t = x 0 + r cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t

t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 3

Agora, a parametrização da hipérbole ninguém lembra né?!

Pois é, mas vamos relembrar aqui:

A parametrização da hipérbole centrada em ( x 0 , y 0 ) é:

x t = cosh ⁡ t + x 0

y t = s e n h t + y 0

t ∈ R

Para o ramo da hipérbole H situada em x > 0

E

x t = - cosh ⁡ t + x 0

y t = s e n h t + y 0

t ∈ R

Para o ramo da hipérbole H situada em x < 0 .

Passo 4

Beleza, agora vamos olhar para as parametrizações que a questão deu pra gente e ver se elas se parecem com algumas dessas parametrizações que relembramos aqui:

γ 1 t = t 2 + 2 , - t 2 ; t ∈ R

γ 2 t = - cos 2 ⁡ t + 2 , sin ⁡ t ; t ∈ R

γ 3 t = 3 2 ( e t + e - t ) , 3 2 ( e t - e - t )   ; t ∈ R

WTF??

Nada disso é parametrização de parábola, nem de circunferência, nem de hipérbole. E agora??

Calma! Olha de novo! Tem certeza que não?

Beleza, você tem mesmo razão quando diz que nada disso é parametrização de parábola, nem de circunferência. Agora, e de hipérbole?

Eu sei que não tem explicitamente nenhum cosseno hiperbólico nem seno hiperbólico aí. Mas e se eles estiverem disfarçados?

Pois é, eles estão!

Isso porque

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

senh ⁡ t = e t - e - t 2

Então, na parametrização da nossa curva γ 3 , temos sim seno e cosseno hiperbólicos.

Isso significa que a imagem de γ 3 está numa hipérbole. Beleza, mas está numa hipérbole que passa em 3 2 , 0 ou numa hipérbole que passa em 3 , 0 ?

Passo 5

Vamos ver. Substituindo o cosseno e o seno hiperbólicos na parametrização, temos:

γ 3 t = 3 cosh ⁡ t , 3 senh ⁡ t ; t ∈ R

Agora, comparando com a parametrização da hipérbole, vemos que essa é a parametrização do ramo da hipérbole situada em x > 0 e que passa por 3 , 0 , porque aquele 2 que tava no denominador, na verdade, está “dentro” do seno e cosseno hiperbólicos.

Resposta

L e t r a   d

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π