1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

b. C = x , y , z ∈ R 3   : x 2 + y 2 = 9   e   4 x + 4 y = z 2 , z > 0 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas x 2 + y 2 = 9 e 4 x + 4 y = z 2 com z > 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras vari��veis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos um cilindro que é intersectado pela superfície 4 x + 4 y = z 2 em z > 0 .

Perceba que a equação x 2 + y 2 = 9 possui uma simetria cilíndrica com raio r = 9 = 3

Assim, podemos usar a parametrização por coordenadas polares que já sabemos aplicar, ou seja

x = r cos ⁡ t y = r sin ⁡ t

Mas como r = 3 , então

x = 3 cos ⁡ t y = 3 sin ⁡ t

Substituindo x e y na equação 4 x + 4 y = z 2 , podemos obter a parametrização de z como

z = 4 x + 4 y

z = 4 3 cos ⁡ t + 4 3 sin ⁡ t

z = 4 · 3 cos ⁡ t + sin ⁡ t

z = 2 3 cos ⁡ t + sin ⁡ t

Assim, como o que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a 0 , então t deve satisfazer a inequação

cos ⁡ t + sin ⁡ t > 0

- π 4 ≤ t ≤ 3 π 4

Dessa forma, nossa curva será definida como

S t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t , 2 3 cos ⁡ t + sin ⁡ t ,     t ∈ - π 4 , 3 π 4

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

S t = 3 cos ⁡ t , 3 sin ⁡ t , 2 3 cos ⁡ t + sin ⁡ t ,     t ∈ - π 4 , 3 π 4

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π