1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

c. C = x , y , z ∈ R 3   : x 2 + y 2 + z = 1   e   2 x + 2 y + z = 1 ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas x 2 + y 2 + z = 1 e 2 x + 2 y + z = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos a superfície x 2 + y 2 + z = 1 que é intersectada pela superfície 2 x + 2 y + z = 1 .

Isolando z na primeira equação e na segunda equação, temos

x 2 + y 2 + z = 1 → x 2 + y 2 - 1 = - z

2 x + 2 y + z = 1 → 2 x + 2 y - 1 = - z

Igualando as duas equações, chegamos em

x 2 + y 2 - 1 = 2 x + 2 y - 1

x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = 0

Completando quadrados em x 2 - 2 x sabendo que x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1 e fazendo o mesmo com y 2 - 2 y , temos

x - 1 2 + y - 1 2 = 0

Porém, temos um problema! Ao fazer isso adicionamos 2 ao lado esquerdo, então para balancear a igualdade, adicionamos 2 também ao lado direito

x - 1 2 + y - 1 2 = 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Perceba que essa curva possui uma simetria cilíndrica, assim, podemos usara parametrização em coordenadas polares dada por

x = r cos ⁡ t y = r sin ⁡ t

Pela igualdade da equação x - 1 2 + y - 1 2 = 2 , podemos ver que r = 2 , ou seja

x = 2 cos ⁡ t y = 2 sin ⁡ t

Porém, novamente, para satisfazer a igualdade temos que somar 1 em x e em y por conta do termo - 1 nos quadrados

x = 2 cos ⁡ t + 1 y = 2 sin ⁡ t + 1

Assim, substituindo x e y na equação 2 x + 2 y - 1 = - z , podemos obter a parametrização de z como

z = 1 - 2 x - 2 y

z = 1 - 2 2 cos ⁡ t + 1 - 2 2 sin ⁡ t + 1

Simplificando...

z = 1 - 2 2 cos ⁡ t - 2 - 2 2 sin ⁡ t - 2

z = - 3 - 2 2 cos ⁡ t - 2 2 sin ⁡ t

z = - 3 - 2 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t

Dessa forma, nossa curva parametrizada será dada por

S t = 2 cos ⁡ t + 1 ,   2 sin ⁡ t + 1 ,   - 3 - 2 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

S t = 2 cos ⁡ t + 1 ,   2 sin ⁡ t + 1 ,   - 3 - 2 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π