Considere a espiral r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , t ≥ 0 , e a circunferência S de equação x 2 + y 2 = 16 .

(a) Determine o instante e o ponto em que a trajetória de r intersepta S .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) e quer saber onde ela encontra a circunferência de equação x 2 + y 2 = 16 . Dessa forma, precisamos determinar o valor de t (o instante) onde elas se interceptam e o ponto onde isso acontece.

Para isso, vamos definir as componentes do vetor r t em termos das coordenadas cartesianas, substituir esses valores na equação da circunferência e encontrar o valor de t . Para descobrir o ponto em que a trajetória de r intersepta S , basta substituir o valor de t que encontrarmos nas componentes que definimos a princípio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo as componentes do vetor r t = t π ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) em termos de x e y :

x = t π cos ⁡ t

y = t π sin ⁡ t

Agora podemos substituir os valores de x e y na equação da circunferência:

x 2 + y 2 = 16

t π cos ⁡ t 2 + t π sin ⁡ t 2 = 16

Elevando ao quadrado:

t 2 π 2 cos 2 ⁡ t + t 2 π 2 sin 2 ⁡ t = 16

Colocando t 2 π 2 em evidência:

t 2 π 2 cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 16

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , temos:

t 2 π 2 = 16

Como t ≥ 0 , isolando t temos:

t 2 = 16 π 2 → t = 16 π 2

Logo,

t = 4 π

Passo 3

Substituindo t = 4 π em x = t π cos ⁡ t e y = t π sin ⁡ t , temos:

x = 4 π π cos ⁡ ( 4 π ) → x = 4

y = 4 π π sin ⁡ 4 π   → y = 0

Portanto, temos o instante t = 4 π e o ponto ( 4 ,   0 ) na interseção entre as curvas.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

t = 4 π

( 4 ,   0 )

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π