Suponha que a posição de duas partículas no instante t seja dada por σ ( t )   =   ( 2   s e c   t ,   2   t g   t ) ,

0   ≤   t   <   π / 2   e   α ( t )   =   ( 5   c o s t ,   3   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π , respectivamente.

Ache as equações cartesianas das duas trajetórias;

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é encontrar as equações cartesianas das duas trajetórias;

σ ( t )   =   ( 2   s e c   t ,   2   t g   t ) , 0   ≤   t   <   π / 2   e   α ( t )   =   ( 5   c o s t ,   3   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π , respectivamente.

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação cartesiana de

σ ( t )   =   ( 2   s e c   t ,   2   t g   t ) 0   ���   t   <   π / 2  

Usando a identidade trigonometria

t g 2 = s e c 2 - 1

temos que

4 x 2 - 1 = 4 y 2 ,   x   >   0 ,   y   ≥   0 ;  

Ou seja, temos a equação da hipérbole

4 x 2 - 4 y 2 = 1 ,  

Agora, a segunda curva

  α ( t )   =   ( 5   c o s t ,   3   s e n   t ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π

essa parametrização é manjada. é uma elípse. E sua equação cartesiana é

x 2 / 25 + y 2 / 9 = 1 ,  

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π