Seja C a curva com equações paramétricas

x ( t )   =   1   +   2   l n ( 1   +   t ) ,   y ( t )   =   1   +   ( 1   +   t ) 2 ,   t   >   − 1 .

Calcule d y / d x sem usar as equações cartesianas

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é calcular d y / d x sem usar as equações cartesianas. Onde C é:

x ( t )   =   1   +   2   l n ( 1   +   t ) ,   y ( t )   =   1   +   ( 1   +   t ) 2 ,   t   >   − 1 .

Passo 2

Eita, como vamos encontrar d y / d x sem usar as equações cartesianas? Vamos usar a regra da cadeia e derivação implícita. Temos que

d y d x = d y d t d t d x

Vamos começar obtendo

d y d t

Como

y ( t )   =   1   +   ( 1   +   t ) 2 ,

d y d t = 2 ( 1 + t )

Agora, vamos calcular

d t d x

Como

x ( t )   =   1   +   2   l n ( 1   +   t )

derivando em x temos:

1 = 2 1 + t d t / d x

⇒   d t / d x = ( 1 + t ) / 2

Logo,

d y d x = d y d t d t d x

= ( 1 + t ) 2 ,   p a r a   t > - 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π