Seja P um ponto a uma distância d do centro de uma roda de raio r , que gira sem deslizar

sobre o eixo x . Reproduzindo o esquema que usamos para parametrizar a ciclóide (caso

em que d   =   r ), mostre que a curva descrita pelo ponto P , chamada trocóide, tem equações

paramétricas

x ( θ )   =   r θ   −   d   s e n   θ ,   y ( θ )   =   r   −   d   c o s   θ ,   θ   ∈   I R .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando curvas parametrizadas.

Nosso objetivo é determinar uma parametrização para a trocóide, e mostrar que uma parametrização é dada por

x ( θ )   =   r θ   −   d   s e n   θ ,   y ( θ )   =   r   −   d   c o s   θ ,   θ   ∈   I R .

Passo 2

Antes de fazer a parametrização da trocóide, vamos relembrar a parametrização da ciclóide. Para isso vamos observar o desenho a seguir.

Vamos parametrizar a ciclóide com os parâmetros r   e   θ . Note que quando a circunferência rola θ graus ela percorre r θ de distância, dessa forma podemos observar as seguintes relações

Temos que as coordenadas do ponto P são dadas por

y = r - r c o s ( θ )

x = r θ - r s i n ( θ )

Passo 3

Agora vamos pensar no caso da trocóide. Como nosso ponto está dentro da circunferência, vamos representar a situação da seguinte forma.

Ou seja, é bem parecido com o caso da ciclóide. Vamos encontrar a coordenada do nosso ponto B . Suas coordenadas x e y são

x = r θ - b s i n θ

y = r - b c o s θ

Ou seja, é bem parecido com a ciclóide.

Dessa forma, provamos que a parametrização da trocóide é

x ( θ )   =   r θ   −   d   s e n   θ ,   y ( θ )   =   r   −   d   c o s   θ ,   θ   ∈   R .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π