1.5. Seja γ t = e t + 1 , e - t , para t ∈ R .

a. Desenhe a imagem de γ , indicando o sentido de percurso.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o gráfico da função parametrizada γ t = e t + 1 , e - t .

E agora? O que a gente faz? 👀

Para esboçar uma curva parametrizada do tipo f t = g t , h t , pegamos a primeira função e igualamos a x e a segunda a y , ou seja

x = g t

y = h t

Na primeira equação, isolamos t e substituímos na em y , assim vamos obter uma curva y = p x .

Já para descobrir o sentido da curva, pegamos um ponto de t 0 e calculamos γ t 0 e outro ponto em t 1 fazendo γ t 1 de modo que t 0 < t 1 , assim, vemos que a função vai de t 0 para t 1 .

Bora ver tudo isso na prática! 😉

Passo 2

A função é dada por

γ t = e t + 1 , e - t

Igualando a primeira componente a x e a segunda a y , temos

x = e t + 1

y = e - t

Isolando t na primeira equação, vamos obter

e t = x - 1

ln ⁡ e t = ln ⁡ x - 1

t = ln ⁡ x - 1

Substituindo essa equação em y , vamos obter

y = e - t → y = e - ln ⁡ x - 1

y = 1 x - 1

Portanto, essa é a nossa função que vamos esboçar o gráfico!

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos ver qual o sentido dessa curva...

Vamos usar t 0 = 0 e t 1 = 1

γ 0 = e 0 + 1 , e - 0 = 2,1

γ 1 = e 1 + 1 , e - 1

A curva caminha de t 0 para t 1 , portanto esboçando a curva

y = 1 x - 1

E os pontos γ 0 e γ 1 , vamos obter

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π