Uma partícula se move no plano segundo o vetor posição r t = 2 cos ⁡ 2 t i → + 3 cos ⁡ t j → .

(b) Quais são os vetores aceleração nos instantes de velocidade zero? Desenhe estes vetores.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um vetor posição r t = 2 cos ⁡ 2 t i → + 3 cos ⁡ t j → e pediu pra gente determinar o vetor aceleração nos instantes em que a velocidade é zero.

Para calcular o vetor velocidade, basta a gente derivar o vetor posição r t . Em seguida, vamos igualar esse vetor a zero, para descobrir o valor de t nos instantes de velocidade zero. Então, derivamos novamente e obtemos o vetor aceleração no ponto t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando r t = 2 cos ⁡ 2 t i → + 3 cos ⁡ t j → para encontrar o vetor velocidade:

v t = r ' t = ( - 4 sin ⁡ 2 t ,   - 3 sin ⁡ t )

Nos instantes em que a velocidade é nula, cada componente do vetor v é nula. Então, vamos igualar cada componente a zero:

- 4 sin ⁡ 2 t = 0 → sin ⁡ 2 t = 0

Para que o seno de um ângulo seja igual a zero, esse ângulo precisa ser zero ou algum múltiplo de π . Então, vamos ter:

t = 0

t = n π

Onde n = 1 ,   2 ,   3 , … .

Passo 3

Derivando v ( t ) , temos o vetor aceleração:

a t = v ' t = - 8 cos ⁡ 2 t ,   - 3 cos ⁡ ( t )  

Verificando os vetores aceleração nos instantes de velocidade zero, vamos substituir t = 0 e t = π nas componentes do vetor a :

a t = - 8 cos ⁡ 2 t ,   - 3 cos ⁡ ( t )  

a 0 = - 8 cos ⁡ 2 ∙ 0 ,   - 3 cos ⁡ 0 = - 8 ,   - 3  

a π = - 8 cos ⁡ 2 π ,   - 3 cos ⁡ π = ( - 8 ,   3 )

Poderíamos ter também a 2 π ,   a 3 π ,   a 4 π … e assim por diante. Esboçando esse vetor no gráfico, temos:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a t = - 8 cos ⁡ 2 t ,   - 3 cos ⁡ ( t )  

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π