Transforme a equação polar em sua correspondente equação cartesiana:

a) r = 5 s i n θ - 2 c o s θ

b) r = tan ⁡ θ sec ⁡ θ

c) r = csc ⁡ θ e r cos ⁡ θ

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas equações na forma polar e pediu pra gente escrevê-las em sua forma cartesiana.

Para fazer essa mudança de coordenadas, nós vamos usar as relações:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ x 2 + y 2 = r 2

Vamos manipular as equações de maneira que a gente consiga substituir algumas das relações e coloca-la em sua forma cartesiana, em função de x e y . Então, vamos lá!

Passo 2

Na letra a, temos:

r = 5 s i n θ - 2 c o s θ

Vamos começar dividindo os dois lados por r :

1 = 5 r ( s i n θ - 2 c o s θ )

1 = 5 r s i n θ - 2 r c o s θ

Nós vimos lá no passo 1 que x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , então vamos substituir na equação:

1 = 5 y - 2 x

Vamos multiplicar os dois lados por y - 2 x agora:

y - 2 x = 5

Logo,

y = 2 x + 5

E temos nossa equação cartesiana.

Passo 3

Na letra b, temos:

r = tan ⁡ θ sec ⁡ θ

Vamos primeiro colocar a expressão em termos dos senos e cossenos, usando as relações:

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Substituindo na equação, temos:

r = sin ⁡ θ cos ⁡ θ ∙ 1 cos ⁡ θ

r = sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

Mas das relações do passo 1 , temos sin ⁡ θ = y / r e cos ⁡ θ = x / r , então vamos substituir:

r = y r x 2 r 2

Fazendo a divisão de frações:

r = y r ∙ r 2 x 2

r = y r x 2

Vamos dividir os dois lados por r :

1 = y x 2

Assim, temos nossa equação cartesiana:

y = x 2

Passo 4

Na letra c, temos:

r = csc ⁡ θ e r cos ⁡ θ

Vamos começar usando a relação da trigonometria:

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ

Substituindo na equação, temos:

r = 1 sin ⁡ θ e r cos ⁡ θ

Multiplicando os dois lados por sin ⁡ θ :

r sin ⁡ θ = e r cos ⁡ θ

Mas lembra que r sin ⁡ θ = y e r cos ⁡ θ = x ? Então podemos escrever:

y = e x

E temos nossa equação cartesiana.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) y = 2 x + 5

b) y = x 2

c) y = e x

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π