Seja C a curva fechada dada pela interseção das superfícies de equações cartesianas z = x y e x 2 + y 2 = r 2 (Fig. 1).

( b ) Dê equações paramétricas para a reta tangente a C no ponto ( r , 0,0 ) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos uma curva C obtida pela interseção entre as superfícies z = x y e x 2 + y 2 = r 2 , a interseção ocorre como na figura

Temos que encontrar uma parametrização para a reta tangente a curva C no ponto ( r , 0,0 ) , a reta tangente é aquela na qual a inclinação é dada pela derivada da curva no ponto! Ou seja

T ( t ) =   ( x 0 , y 0 , z 0 ) + α ' ( x 0 , y 0 , z 0 )   t

em que ( r , 0,0 ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) em nosso caso, um ponto que pertence a reta! Na alternativa anterior obtemos que a parametrização da curva é dada por

α ( t ) = ( x , y , z ) = ( r   c o s ( t ) ,   r   s e n ( t ) ,   r 2   c o s ( t )   s e n ( t ) )

Vamos calcular então a nossa derivada! Saca só!

Passo 2

A derivada em relação a t é dada por

α ' ( t ) = d d t ( r   c o s ( t ) ,   r   s e n ( t ) ,   r 2   c o s ( t )   s e n ( t ) ) = ( r   d d t [ c o s ( t ) ] , r   d d t [ s e n ( t ) ] ,   r 2   d d t [ c o s ( t )   s e n ( t ) ] )

Temos aqui duas derivadas conhecidas como

d d t [ c o s ( t ) ] = -   s e n ( t ) e d d t [ s e n ( t ) ] = c o s ( t )

para a outra derivada precisamos usar a regra do produto para obter

d d t [ c o s ( t )   s e n ( t ) ] = d d t [ c o s ( t ) ] s e n ( t ) + c o s ( t ) d d t [ s e n ( t ) ]

usando as derivadas que acabei de apresentar, temos que

d d t [ c o s ( t )   s e n ( t ) ] = - s e n 2 ( t ) + c o s 2 ( t )

a derivada da curva pode ser escrita como

α ' ( t ) = ( - r   s e n ( t )   , r   c o s ( t ) ,   - r 2   s e n 2 ( t ) + r 2 c o s 2 ( t ) )

Vamos usar essa expressão para calcular a nossa equação da reta tangente!

Passo 3

Precisamos avaliar a expressão no ponto desejado! ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( r , 0,0 ) , portanto, temos que

α ( t ) = ( r   c o s ( t )   , r   s e n ( t ) ,   r 2   s e n ( t )   c o s ( t ) ) = ( r , 0,0 )

temos que c o s ( t ) = 1 e s e n ( t ) = 0 , isso é verdade para t = π / 2 , portanto, temos que

α ' ( π / 2 ) = ( 0   , r ,   r 2 )

e, a equação da reta tangente é dada por

T ( t ) = ( r , 0,0 ) + ( 0 , r , r 2 )   t = ( r , r t ,   r 2 t )

A segunda alternativa já era! Te vejo na próxima!

Resposta

T ( t ) = ( r , r t ,   r 2 t )

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π