Esboce cada curva parametrizada a seguir e determine seu comprimento.

(a) α t = ( cos ⁡ t ,   t - sin ⁡ t ) com 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por α t = ( cos ⁡ t ,   t - sin ⁡ t ) com 0 ≤ t ≤ 2 π e nós precisamos determinar o comprimento dela e esboçar a curva no gráfico.

O comprimento de uma curva parametrizada é definida da mesma forma que o comprimento de uma curva plana com equações paramétricas. Se a curva é percorrida exatamente uma vez, à medida que t cresce de a para b , seu comprimento é determinado pela equação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

No nosso caso, o intervalo [ a ,   b ] é dado por [ 0 ,   2 π ] . Além disso, nossas componentes no vetor nos dão x t = cos ⁡ t e y t = t - sin ⁡ t . Derivando x e y em relação a t , elevando ao quadrado, somando os dois resultados e calculando a raiz quadrada, vamos conseguir calcular a integral do comprimento de arco definida por L .

Vamos lá!

Passo 2

Galera, o integrando d x d t 2 + d y d t 2 pode ser escrito de maneira mais compacta como o módulo do vetor α ' ( t ) , ou seja:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ a b α ' ( t )   d t

Então, vamos começar calculando esse módulo. Para x t = cos ⁡ t e y t = t - sin ⁡ t , temos as derivadas:

d x d t = - sin ⁡ t

d y d t = 1 - cos ⁡ t

Colocando a na fórmula do módulo:

α ' ( t ) = d x d t 2 + d y d t 2

α ' ( t ) = - sin ⁡ t 2 + 1 - cos ⁡ t 2

Elevando as componentes ao quadrado:

α ' ( t ) = sin 2 ⁡ t + 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos:

α ' ( t ) = 1 - 2 cos ⁡ t + 1

α ' ( t ) = 2 - 2 cos ⁡ t

Colocando 2 em evidência:

α ' ( t ) = 2 ( 1 - cos ⁡ t )

Agora a gente pode usar uma variação da identidade trigonométrica do arco duplo na forma:

cos ⁡ t = 1 - 2 sin 2 ⁡ t 2

De forma que a gente consegue simplificar nossa equação, substituindo esse valor do cosseno:

α ' ( t ) = 2 1 - 1 + 2 sin 2 ⁡ t 2

α ' ( t ) = 2 2 sin 2 ⁡ t 2

Dessa forma, vamos ter:

α ' ( t ) = 4 sin 2 ⁡ t 2

α ' ( t ) = 2 sin ⁡ t 2

E ficou bem mais simples de integrar, né? Então, vamos lá.

Passo 3

Substituindo o valor que encontramos para α ' ( t ) na nossa integral, temos:

∫ a b α ' ( t )   d t = ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t 2   d t

Integrando a nossa função:

∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t 2   d t = - 4 cos ⁡ t 2 0 2 π

Aplicando os limites de integração:

- 4 cos ⁡ t 2 0 2 π = - 4 cos ⁡ 2 π 2 + 4 cos ⁡ 0 2

= - 4 cos ⁡ π + 4 cos ⁡ 0

Calculando os cossenos, temos nosso comprimento da curva:

L = - 4 - 1 + 4 1

L = 8

Plotando nossa trajetória no plano cartesiano e no espaço tridimensional, temos:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 8

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π