Considere o cilindro circular reto C : x 2 + y 2 = 1 e o plano Π : x + 2 y + z = 1 . Obtenha uma parametrização r : I → R 3 para a curva correspondente à interseção C ∩ Π e esboce, em uma mesma figura, o cilindro C e o plano Π , destacando a trajetória da curva r .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um cilindro circular reto, de equação x 2 + y 2 = 1 , e um plano definido pela equação x + 2 y + z = 1 . Nós precisamos obter uma parametrização para a curva na interseção dessas superfícies.

Para isso, depois de identificadas as equações das superfícies, nós vamos isolar uma variável de uma das equações, substituir essa variável na outra equação e parametrizar a equação, chamando uma das variáveis de t . Vai ficar mais claro a medida que a gente for fazendo.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos as equações das duas superfícies:

x 2 + y 2 = 1 x + 2 y + z = 1

Isolando x na primeira equação, temos:

x 2 = 1 - y 2

x = ± 1 - y 2

Substituindo esse valor de x na equação do plano, x + 2 y + z = 1 , temos:

± 1 - y 2 + 2 y + z = 1

Isolando z , vamos deixar a equação apenas em função de y :

z = 1 - 2 y ∓ 1 - y 2

Agora, para parametrizar a equação, nós podemos chamar y ( t ) = t . Assim:

z = 1 - 2 t ∓ 1 - t 2

E como a gente definiu lá em cima, x = ± 1 - y 2 , com y = t vamos ter:

x = ± 1 - t 2

Dessa forma, temos nossa curva parametrizada:

r t = ± 1 - t 2 ,   t , 1 - 2 t ∓ 1 - t 2  

Galera, presta atenção no sinal da raíz na hora de plotar a curva, tá? Porque nós temos sempre uma raiz positiva e uma negativa, então é como se tivéssemos dois vetores, um r t = 1 - t 2 ,   t , 1 - 2 t - 1 - t 2   e um r t = - 1 - t 2 ,   t , 1 - 2 t + 1 - t 2   , beleza? Isso vai fazer a curva em preto ficar completinha, como mostra a figura abaixo:

Com a ajuda de um software basta inserir a equação do cilindro circular reto (em vermelho), x 2 + y 2 = 1 , e a equação do plano (em azul claro), x + 2 y + z = 1 . A curva em preto representa a parametrização da interseção entre as superfícies.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

r t = ± 1 - t 2 ,   t , 1 - 2 t ∓ 1 - t 2  

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π