Verifique que a trajetória r t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 sin ⁡ t 2 , t ∈ R , é uma curva lisa cuja trajetória está contida na interseção do cilindro circular reto C = x ,   y ,   z ∈ R 3 : x - 1 2 + y 2 = 1 com a esfera E = x ,   y ,   z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Esboce C e E e destaque a trajetória de r .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma uma curva parametrizada r t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 sin ⁡ t 2 que tá contida na interseção de um cilindro circular reto com uma esfera. Ele pediu pra gente verificar se essa curva (ou trajetória) é uma curva lisa, em seguida, plotar o cilindro, a esfera e a curva r ( t ) no gráfico.

Mas antes de mais nada, a gente precisa saber que uma curva dada por uma função vetorial r ( t ) em um intervalo I é chamada de lisa se a derivada r ' ( t ) for contínua e se r ' t ≠ 0 . Então, o que nós vamos fazer é calcular essa derivada e verificar as condições da curva. Em seguida, vamos esboçar o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função vetorial r t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 sin ⁡ t 2 , derivando cada componente de r :

r ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t , cos ⁡ t 2

Nós sabemos que as funções seno e cosseno são contínuas, então a derivada da função r t também é contínua. Agora aplicando o parâmetro t = 0 em r ' t , temos:

r ' 0 = - sin ⁡ 0 , cos ⁡ 0 , cos ⁡ 0 2

r ' 0 = ( 0 ,   1 ,   1 )

Então, temos r ' 0 ≠ 0 , portanto, de acordo com a definição, a curva é lisa.

Passo 3

Agora, nós temos um cilindro circular reto de equação x - 1 2 + y 2 = 1 e uma esfera de raio 4 , com equação x 2 + y 2 + z 2 = 4 . Com a ajuda de uma software nós plotamos essas superfícies:

Repare que a curva em preto, na intereseção das superfícies, reprenta a curva paramétrica r t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 sin ⁡ t 2 , como descrito pelo enunciado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   c u r v a   é   l i s a

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π