Encontre todos os pontos em que a curva r 2 = c o s ( 2 θ ) tem tangente horizontal, vertical ou não existente

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos a curva definida por

r 2 = c o s ( 2 θ )

e queremos encontrar os pontos em que a reta tangente ao ponto é horizontal, vertical, ou inexistente! Acima temos uma curva polar que pode ser representada nas coordenadas ( x , y ) , pela parametrização

x = r ( θ ) c o s ( θ ) e y = r ( θ ) s e n ( θ )

As retas horizontais são obtidas quando inclinação é nula ou seja

d y d x = 0

e a inclinação é vertical quando d y d x não é bem definida! Mas quem é essa derivada? A condição acima pode ser reescrita como

d y / d θ d x / d θ = 0

Ou seja, temos retas horizontais quando

d y d θ = 0

e, retas verticais quando

d x d θ = 0

Vamos calcular as derivadas e encontrar os nossos pontos! Vem comigo!

Passo 2

Temos que

d y d θ = d d θ [ r ( θ ) s e n ( θ ) ]

aplicando a regra do produto, temos que

d d θ [ r ( θ ) s e n ( θ ) ] = d r ( θ ) d θ s e n ( θ ) + r ( θ ) c o s ( θ )

em que usei que

d d θ [ s e n ( θ ) ] = c o s ( θ )

Mas quem é d r ( θ ) d θ ?? Podemos obter este resultado derivando implicitamente a nossa definição! Vamos lá!

Passo 3

Temos que a nossa função r ( θ ) é definida implicitamente, ou seja, precisaremos usar a regra da cadeia, derivando de ambos os lados, temos que

d d θ [ r 2 ] = d d θ [ c o s ( 2 θ ) ]

pela regra da cadeia, o lado esquerdo se torna

2 r d r d θ

e, o lado direito pode ser identificado como

d d θ [ c o s ( 2 θ ) ] = - 2   s e n ( 2 θ )

Ou seja, temos que

2 r   d r d θ = - 2   s e n ( 2 θ )

ou seja, a inclinação da reta tangente é

m = d r d θ = - s e n ( 2 θ ) r

Agora podemos voltar para a nossa derivada original, e tentar identificar as retas tangentes horizontais!

Passo 4

Usando a derivada da coordenada r ( θ ) na derivada de y , temos que

d y d θ = ( - 1 r s e n ( 2 θ ) ) s e n ( θ ) + r ( θ ) c o s ( θ ) = 1 r [ - s e n ( 2 θ ) s e n ( θ ) + r 2 c o s ( θ ) ]

usando a definição de r 2 , temos que

d y d θ = 1 r [ c o s ( 2 θ ) c o s ( θ ) - s e n ( 2 θ ) s e n ( θ ) ]

que é o mesmo que

c o s ( 2 θ ) c o s ( θ ) - s e n ( 2 θ ) s e n ( θ ) = c o s ( 2 θ + θ ) = c o s ( 3 θ )

aqui em cima usei a relação trigonométrica c o s ( a + b ) ! Portanto, temos que

c o s ( 3 θ ) = 0

Isso ocorre quand

o

3 θ = ± ( 2 n + 1 ) π 2

ou

θ = ± ( 2 n + 1 ) π 6

em que o ± é devido a paridade da função cosseno! Os valores de r são então dados por

r 2 = c o s [ ( 2 n + 1 ) π 3 ]

a expressão acima falha para n = 1 e n = 4 , assim como outros valores, os dois menores valores que tem validade são n = 0 e n = 2 , onde obtemos que

r 2 = 1 2

e, portanto, os pontos são todos da forma

P = ( 2 2 , ± π 6 ) e P = ( 2 2 , ± 5 π 6 )

Vamos agora achar as nossas verticais!

Passo 5

Para as verticais precisamos calcular

d x d θ = d d θ [ r ( θ ) c o s ( θ ) ] = d r d θ c o s ( θ ) - r s e n ( θ )

em que usei

d d θ [ c o s ( θ ) ] = - s e n ( θ )

Substituindo d r / d θ que calculamos anteriormente, temos que

d x d θ = - 1 r s e n ( θ ) c o s ( θ ) - r s e n ( θ ) = - 1 r [ s e n ( 2 θ ) c o s ( θ ) + c o s ( 2 θ ) s e n ( θ ) ]

em que usei novamente que r 2 = c o s ( 2 θ ) . Usando a fórmula para s e n ( a + b ) , temos que

d x d θ = - 1 r s e n ( 3 θ )

a condição para que tenhamos uma tangente vertical é então dada por

s e n ( 3 θ ) = 0

ou seja, quando temos

3 θ = n π

ou simplesmente

θ = n π 3

de forma que os nossos pontos são dados pelos valores de r , tais que

r = c o s ( 2 n π 3 )

note que para todo n que não é múltiplo de 3 , temos que o cosseno resultará em - 1 / 2 , portanto, estariamos no plano imaginário, para nos manter no plano real precisamos de n = 3 m , valores múltiplos de 3. Que resultam em r = 1 , portanto, os pontos são dados por

P = ( 1 ,   m π )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Horizontais em P = ( 2 2 , ± π 6 ) e P = ( 2 2 , ± 5 π 6 ) e verticais em P = ( 1 ,   m π )

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π