Esboce cada curva parametrizada a seguir e determine seu comprimento.

(c) A catenária γ t = ( t ,   cos h ⁡ ( t ) ) com t ∈ - 1 ,   1 . Lembre-se: cosh ⁡ ( t ) = 1 2 ( e t + e - t )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma curva parametrizada por γ t = ( t ,   cosh ⁡ ( t ) ) com - 1 ≤ t ≤ 1 e nós precisamos determinar o comprimento dela e esboçar a curva no gráfico.

O comprimento de uma curva parametrizada é definida da mesma forma que o comprimento de uma curva plana com equações paramétricas. Se a curva é percorrida exatamente uma vez, à medida que t cresce de a para b , seu comprimento é determinado pela equação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

No nosso caso, o intervalo [ a ,   b ] é dado por [ - 1 ,   1 ] . Além disso, nossas componentes no vetor nos dão x t = t e y t = cosh ⁡ t . Derivando x e y em relação a t , elevando ao quadrado, somando os dois resultados e calculando a raiz quadrada, vamos conseguir calcular a integral do comprimento de arco definida por L .

Vamos lá!

Passo 2

Galera, o integrando d x d t 2 + d y d t 2 pode ser escrito de maneira mais compacta como o módulo do vetor γ ' t , ou seja:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t = ∫ a b γ ' ( t )   d t

Então, vamos começar calculando esse módulo. Para x t = t e y t = cosh ⁡ t , temos as derivadas:

d x d t = 1

d y d t = sinh ⁡ ( t )

Colocando a na fórmula do módulo:

γ ' t = d x d t 2 + d y d t 2

γ ' t = 1 2 + sinh 2 ⁡ ( t ) 2

Elevando as componentes ao quadrado:

γ ' t = 1 + sinh 2 ⁡ ( t )

Usando a identidade trigonométrica cos h 2 ⁡ ( t ) - sinh 2 ⁡ ( t ) = 1 , temos:

γ ' t = cosh 2 ⁡ ( t )

Tirando da raiz:

γ ' t = cosh ⁡ ( t )

E ficou bem mais simples de integrar, né? Então, vamos lá.

Passo 3

Substituindo o valor que encontramos para γ ' t na nossa integral, temos:

∫ a b γ ' t   d t = ∫ - 1 1 cosh ⁡ ( t )   d t

Lembrando que cosh ⁡ ( t ) = 1 2 ( e t + e - t ) , vamos ter:

∫ - 1 1 cosh ⁡ ( t )   d t = 1 2 ∫ - 1 1 ( e t + e - t )   d t

Integrando a nossa função:

= e t - e - t 2 - 1 1

Aplicando os limites de integração, temos nosso comprimento L :

L = e 1 - e - 1 2 - e - 1 - e 1 2

L = e 2 - 1 e ≈ 2,35

Plotando nossa trajetória no plano cartesiano e no espaço tridimensional, temos:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L ≈ 2,35

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine a sua equação cartesiana.
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Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.d) r → t = 2 cos 3 ⁡ t ,2 s e n 3 t , t ∈ 0 , π 2
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.b) r → t = t ,t + 2 ,4 - 2 t , t ∈ 0 ,1
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.a) r → t = 2 + 3 cos ⁡ t ,1 + 4 s e n t , t ∈ 0 ,2 π