Exercícios Resolvidos de Parametrizações Clássicas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.12. questão 3.

Dê a parametrização para cada uma das curvas:

  1. A reta 2 x - 3 y = 6
  2. A parábola x 2 = 4 a y
  3. A circunferência x - a 2 + y - b 2 = r ²
  4. A elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ,   x 0
  5. O ramo da hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ,   x a
  6. A reta x - 1 2 = y + 1 3 = z - 1 2

Passo 1

a )

Para a reta 2 x - 3 y = 6 podemos isolar o y :

y = 2 3 x - 2

E usar a parametrização natural:

x t = t

y t = 2 3 t - 2

t R

Mas também podemos ver que os pontos 3,0 e 0 , - 2 pertencem a reta e o vetor diretor é n = 3 - 0,0 - - 2 = ( 3,2 ) . Assim, essa reta também pode ser parametrizada como:

x t = 3 t

y t = 2 t - 2

t R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para a parábola x 2 = 4 a y também podemos isolar o y :

y = x 2 4 a

E usar a parametrização natural:

x t = t

y t = t 2 4 a

t R

Passo 3

c )

Para a circunferência x - a 2 + y - b 2 = r ² sabemos que a parametrização é:

x t = a + r cos t

y t = b + r sen t

t [ 0 ,   2 π ]

Passo 4

d )

Para a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , sabemos que a parametrização é:

x t = a cos t

y t = b sen t

t [ - π 2 , π 2 ] pois x 0

Passo 5

e )

Para o ramo da hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ,   x a , sabemos que a parametrização da hipérbole é:

x t = acosh t

y t = b s e n h t

t R

Passo 6

f )

Para a reta x - 1 2 = y + 1 3 = z - 1 2 , podemos fazer:

x - 1 2 = y + 1 3 = z - 1 2 = t

Assim:

x - 1 2 = t

y + 1 3 = t

z - 1 2 = t

Logo:

x t = 2 t + 1

y t = 3 t - 1

z t = 2 t + 1

A parametrização dessa reta é então:

x t = 2 t + 1

y t = 3 t - 1

z t = 2 t + 1

t R

Resposta

  1. x t = 3 t ,   y t = 2 t - 2 , t R
  2. x t = t , y t = t 2 4 a , t R
  3. x t = a + r cos t , y t = b + r sen t , t [ 0 ,   2 π ]
  4. x t = a cos t , y t = b sen t , t [ - π 2 , π 2 ]
  5. x t = acosh t , y t = b s e n h t , t R
  6. x t = 2 t + 1 , y t = 3 t - 1   , z t = 2 t + 1 , t R

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