Considere a função f   : - 1,1 → R dada por

f x = sen ⁡ π 2 x x + 2

( a ) Mostre que existe x   ∈ ( - 1,1 ) tal que f x = 0 . (Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário).

Passo 1

-

Pelo TVI, temos que se uma função muda de sinal num determinado intervalo e é contínua nesse intervalo é garantido que essa função tem pelo menos uma raiz no intervalo. Vamos usar então f - 1 e f ( 1 ) e comparar seus sinais:

f - 1 = sen ⁡ π 2 x x + 2 = sen ⁡ - π 2 - 1 + 2

= - 1 1 = - 1

f 1 = sen ⁡ π 2 x x + 2 = sen ⁡ π 2 1 + 2

= 1 3

Realmente f ( x ) muda de sinal no intervalo ( - 1,1 ) , o que somado ao fato de ser uma função contínua nesse intervalo garante que há uma raiz.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |