5. Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação

x 3 = cos ⁡ x

Possui pelo menos uma solução real.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui o enunciado foi bem direto no que ele quer. E o que temos que fazer é encontrar x ∈ R que satisfaça x 3 = cos ⁡ x .

Isso é equivalente a encontrar uma raiz da função

f x = x 3 - cos ⁡ x

Note que a função f é contínua em R , pois é a diferença de duas funções contínuas em R .

Então bora aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para a nossa f .

Passo 2

Note que

f 0 = 0 3 - cos ⁡ 0 = - 1

E

f π 2 = π 2 3 - cos ⁡ π 2 = π 3 8

(Aqui você pode escolher outros números mas eles tem que permitir que você chegue na conclusão abaixo)

Uma que vez f é contínua em 0 , π 2 e f 0 < 0 < f π 2 , pelo TVI temos que existe c ∈ 0 , π 2 , onde c é uma constante qualquer, tal que f c = 0 . Pontanto, x 3 = cos ⁡ x possui pelo menos uma solução real.

Prontinho!

Resposta

No texto.

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Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |