Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equaç ao

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

tem uma solução no intervalo ( 0 , π / 4 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é mostrar que

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

tem uma solução no intervalo ( 0 , π / 4 ) . E temos que fazer isso usando o TVI

Mas o que diz esse teorema mesmo? De forma bem simples ele diz o seguinte. Se f é uma função contínua e se a < b onde f ( a ) < 0   e   f ( b ) > 0 então tem pelo menos um carinha a < x < b tal que

f ( x ) = 0

Passo 2

Bem, vamos olhar a nossa equação

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

⇒ 2   c o s ( x )   - 4 x   +   1 = 0

Vamos pensar na função

g ( x ) = 2   c o s ( x )   - 4 x   +   1

Essa função é contínua em ( 0 , π / 4 ) . (Temos soma de coisas contínuas)

Vamos calcular o valor da g em x = 0 e em x = π / 4

g ( 0 ) = 2   c o s ( 0 )   - 4 * 0   +   1

= 3

E temos que

g ( π / 4 ) = 2   c o s ( π / 4 )   - 4 * π / 4   +   1

= 2 - π + 1

Mas esse valor é negativo. Ou seja, pelo TVI, existe um 0 < x ' < π / 4 tal que

g ( x ' ) = 0

Passo 3

Chegamos a conclusão que pelo TVI, existem um 0 < x ' < π / 4 tal que

g ( x ' ) = 0

Pela definição da nossa g , isso implica em

2   c o s ( x ' )   - 4 x '   +   1 = 0

Logo

2   c o s ( x ' ) = 4 x '   - 1  

Ou seja, existe uma solução para a equação

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

no intervalo ( 0 , π / 4 ) .

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |