Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Utilizando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) justifique que a equação

x 2 = sen ⁡ x

possui uma solução não nula.

Passo 1

Procurar se em algum ponto a igualdade acima é válida é a mesma coisa que procurar se a função auxiliar que eu vou criar e chamar de f ( x ) dada por:

f x = x 2 - sen ⁡ ( x )

Tem uma raiz real. Olha, eu sei que x 2 vai se distanciando do eixo x à medida que x tende para + ∞ ou - ∞ , enquanto o seno está sempre entre ± 1 . Assim, para escolher um intervalo onde seja prático usar o TVI vou escolher um intervalo que seja próximo à origem do sistema, perto do ponto ( 0,0 ) . Para pegar valores que eu consiga exprimir dentro do seno vou escolher múltiplos de π . As melhores opções são π 2 , π e - π , - π 2 . Vou resolver pelo primeiro:

Passo 2

-

Aplicamos o TVI agora:

f π 2 = π 2 2 - sen ⁡ π 2

= π 4 - 1 ≈ 3 4 - 1

= - 1 4 < 0

f π = π 2 - sen ⁡ π

= π 2 > 0

Logo, como f ( x ) muda de sinal no intervalo π 2 , π e é contínua nesse pedaço garantimos, pelo TVI, que há uma raiz não nula real nesse intervalo

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