Seja f : R → R uma função tal que 1 + x 2 + x 6 6 ≤ f x + 1 ≤ sec ⁡ x 2 + x 6 3 , para todo x no intervalo ] - π 2 , π 2 [ . Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) e lim x → 0 ⁡ f ( x ) cos ⁡ 1 x 2 + x .

Passo 1

E aí galerinha do bem, tudo certo com vocês?

Nessa questão queremos calcular os seguintes limites:

lim x → 0 ⁡ f ( x )

E:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) cos ⁡ 1 x 2 + x

Mas, não conhecemos a expressão de f ( x ) . Sabemos apenas que:

| 1 + x 2 + x 6 6 ≤ f x + 1 ≤ sec ⁡ x 2 + x 6 3

E, aí? Como podemos usar essa igualdade pra matar o nosso limite?

Então pessoal, a ideia principal é usarmos o nosso teorema do sanduíche!

Se sabemos que uma função f está sempre limitada entre duas outras:

g ≤ f ≤ h

Então, também podemos afirmar que:

lim x → a ⁡ g ≤ lim x → a ⁡ f ≤ lim x → a ⁡ h  

Tranquilo? Então vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar calculando f ( x ) . Pela desigualdade dada, temos que:

1 + x 2 + x 6 6 ≤ f x + 1 ≤ sec ⁡ x 2 + x 6 3

Isolando f ( x ) ficamos com:

x 2 + x 6 6 ≤ f x ≤ sec ⁡ x 2 + x 6 3 - 1

Agora podemos aplicar o limite em todos os lados dessa desigualdade:

lim x → 0 ⁡ x 2 + x 6 6 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x 2 + x 6 3 - 1

Vamos calcular esses limites:

lim x → 0 ⁡ x 2 + x 6 6 = 0 + 0 = 0

Já para o outro limite, temos:

lim x → 0 ⁡ sec ⁡ x 2 + x 6 3 - 1 = sec ⁡ 0 - 1

= 0

Portanto, encontramos que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Excelente!

Passo 3

Vamos agora calcular o segundo limite pedido:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) cos ⁡ 1 x 2 + x

Algo muito importante que precisamos notar aqui é que:

cos ⁡ 1 x 2 + x

É uma função limitada. :

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x 2 + x ≤ 1

Assim, independentemente do valor que x estiver tendendo, o cosseno estará dentro desse intervalo. Por outro lado:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Daí, separando o limite pedido no produto dos limites, temos:

lim x → 0 ⁡ f x cos ⁡ 1 x 2 + x = lim x → 0 ⁡ f x ⋅ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x 2 + x

Esse segundo limite é sempre limitado, enquanto o primeiro é nulo.

Qual o produto de 0 por um número qualquer entre - 1 e 1 ?

ZERO!!

Ou seja:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) cos ⁡ 1 x 2 + x = 0

É isso! Obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

lim x → 0 ⁡ f ( x ) cos ⁡ 1 x 2 + x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |