26) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

f x = 1 + x ⋅ cos ⁡ π x 2

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho?

Esse exercício pede, basicamente, pra gente encontrar um intervalo de amplitude 1 em x , no qual possamos garantir que exista uma raiz de f ( x ) . Poderíamos pensar em resolver a equação, mas não dá pra resolver sem utilizar algum artifício computacional.

Tem um jeito mais simples, como só queremos um intervalo podemos usar o teorema do valor intermediário. Ele diz o seguinte:

Se uma função troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.

Beleza, bora pras contas!!

Passo 2

A ideia aqui é a gente chutar um valor de x e ver se f ( x ) é maior, menor ou igual a zero. A dica é sempre chutar valores bem simples, então bora começar com x = 0 .

f 0 = 1 + 0 ⋅ cos ⁡ π ⋅ 0 2 = 1 > 0

Beleza, f 0 > 0 . Queremos agora achar um valor de x tal que f x < 0 . E queremos fazer isso com um intervalo de amplitude igual a 1. Então, vamos tentar x = 1 . Daí vem que:

f 1 = 1 + 1 ⋅ cos ⁡ π 2 = 1 > 0

Puts, não deu certo. Vamos tentar outro chute, por exemplo, x = 2 .

f 2 = 1 + 2 ⋅ cos ⁡ π ⋅ 2 2 = 1 + 2 cos ⁡ π = 1 - 2 =   - 1 < 0

Opa, f ( 2 ) é negativo. Como vimos que f ( 1 ) é positivo, pelo teorema do valor intermediário podemos garantir que no intervalo [ 1,2   ] com certeza existe uma raiz de f .

Prontinho então, essa é a nossa resposta.

Resposta

[ 1,2 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |