21- Mostre que a função f x = x 3 + x 2 - 2 x - 2 possui uma raiz no intervalo 1 ,   2 .

Passo 1

Fala aí!!! Bora resolver essa questão juntinhos?

Bom, a questão pede pra gente mostrar que a função dada por

f x = x 3 + x 2 - 2 x - 2

Possui uma raiz no intervalo ( 1 ,   2 )

Mas o que significa ter uma raiz dentro desse intervalo?

Cara, se liga só! Dizemos que função possui raízes quando ela corta o eixo x , e isso acontece quando o valor da função é igual a zero. Ou seja, a função atravessa da parte negativa para a positiva, ou vice-versa.

Pensando nisso, vamos usar um teorema que ajuda bastante nesses casos, que é o Teorema do Valor Intermediário, fazendo com que o valor intermediário que a gente está procurando seja o valor assumido pela função quando x é uma raiz, ou seja, fazendo f x = 0 .

Bora ver isso comigo!!!

Passo 2

O teorema do valor intermediário diz que

Se f é contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] e L é um valor que está entre f ( a ) e f b , então existe pelo menos um x ∈ [ a ,   b ] tal que f x = L .

Então devemos fazer L = 0 , e o que vai ajudar a gente a determinar se há uma raiz no intervalo é calcular o valor de f ( x ) em seus extremos. Para que isso seja verdade, termos que ter a função em um extremo sendo positiva e em outro sendo negativa, assim vamos garantir que ela passou pelo ponto onde f x = 0 dentro desse intervalo. Sacou?!

Então bora calcular.

O intervalo é 1 ,   2 . E a função é:

f x = x 3 + x 2 - 2 x - 2

Fazendo f ( 1 ) , ficamos com:

f 1 = 1 3 + 1 2 - 2 ⋅ 1 - 2

f 1 = - 2

Show, nesse extremo ela é negativa. 😉

Agora fazendo f 2 , teremos:

f 2 = 2 3 + 2 2 - 2 ⋅ 2 - 2

f 2 = 8 + 4 - 4 - 2

f 2 = + 6

E nesse extremo ela é positiva. 😉

Comprovado que há uma raiz nesse intervalo. É prontinho, questão resolvida.

Resposta

No desenvolvimento.

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( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |