Determine:

c )   Um intervalo de comprimento igual a 1 que contém uma raiz de f x = x 5 + 2 x + 1

Passo 1

Falaaa, belezinha??? Bora lá para mais um probleminha dessa prova, esse é o tipo de problema clássico do teorema do valor intermediário, bora lembrar o que esse teorema nos diz:

Também conhecido como Teorema de Bolzano ele diz que, se temos uma função f contínua em um intervalo [ a , b ] então qualquer ponto d tal que f a ≤ d ≤ f ( b ) ou f a ≥ d ≥ f ( b ) é da forma f ( c ) , para algum c ∈ [ a , b ] .

Passo 2

O teorema nos diz que basta acharmos f a ≤ d ≤ f ( b ) que teremos c ∈ [ a , b ] tal que f c = d

Ou seja, na prática, queremos achar a , b tais que:

f a ≤ 0 ≤ f ( b )

Pois se isso ocorrer, temos que:

f c = d

Ou seja c é raiz.

Porém, o enunciado nos pede que esses a , b formem um intervalo de comprimento 1, devemos dar atenção a esse detalhe.

Para isso, vamos tomar a = - 1 e   b = 0 , veja que temos:

f a = - 2

E

f b = 1

Ou seja, temos algo do tipo:

- 2 = f a ≤ 0 ≤ f b = 1

Por isso, pelo teorema, sabemos que existe c ∈ - 1,0 tal que f c = 0 , como a questão nos pede um exemplo de intervalo, a resposta será - 1,0 .

E assim acabamos com mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

- 1,0

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Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |