Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Verifique que a equação e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2 possui pelo menos alguma solução para um x positivo.

Passo 1

Aqui não adianta tentar isolar o x que não vai dar muito certo. Além disso, a questão não pediu para encontra um valor de x que resolva isso, só pediu pra mostrar que existe um x que resolve a criança.

Para mostrar isso, podemos usar o TVI. Quando queremos provar usa solução assim começamos jogando tudo para o mesmo lado.

e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2 ∴ e x 2 - x - x 3 + 4 x 2 - x - 2 = 0

Agora chamados tudo de f x

f x = 0

Ou seja, a solução para nossos problemas é f x = 0 . Se mostrarmos que essa função vale zero para algum x , estamos bem.

Passo 2

Veja que f é composta por polinômios e exponencial, logo, será sempre contínua, que é um dos requisitos do TVI. Beleza, precisamos achar agora um ponto onde a função é negativa e outra onde ela é positiva, pois se ela troca de sinal e é continua, ela precisará ter passado por zero em algum momento e é isso que queremos;

Podemos começar com x = 0 , por exemplo:

f 0 = e 0 - 0 + 0 - 0 - 2 = 1 - 2 = - 1 < 0

Achamos um negativo. Para o positivo, podemos escolher x = 1 :

f 1 = e 1 - 1 - 1 + 4 - 1 - 2 = 1 > 0

Opa! Se a função troca de sinal e é contínua, pelo TVI, temos que existe x pertencente ao conjunto ( 0,1 ) – ou seja, u m   v a l o r   d e   x   p o s i t i v o – que satisfaz f x = 0 e, portanto: e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2

Possui solução!

Resposta

f x = e x 2 - x - x 3 + 4 x 2 - x - 2 = 0

f 0 = - 1 < 0

f 1 = 1 > 0

Logo, pelo TVI existe x   p o s i t i v o - x ∈ 0,1 - que é solução da equação.

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