Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manha e segue sua caminhada

usual ate o topo da montanha, chegando lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte ele parte

do topo as 7 horas da manha e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério as 7

horas da noite. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente

na mesma hora do dia em ambas caminhadas.

Passo 1

O primeiro passo vai ser a gente estudar o movimento de ida e volta pro topo da montanha pra entendermos o que está acontecendo. Saca só:

Vamos chamar então X t como a posição na ida em função do tempo e estabelecer como posição 0 o monastério e como posição D > 0 o topo da montanha. Se o monge saiu as 7 da manhã e chegou as 7 da noite, temos:

X 7 h = 0

X 19 h = D

Agora, pra volta, temos:

A ideia aqui é a mesma. Y t vai ser a posição na volta em função do tempo. Se as 7 da manhã do dia seguinte ele parte do topo da montanha e chega as 7 da noite no monastéria, temos:

Y 7 h = D

Y 19 h = 0

Passo 2

Agora que modelamos matematicamente a ideia, vamos pensar aqui: que tipo de função é X t e Y t ? Pensa aqui comigo: será que é possível existir algum valor de t , tempo, na qual a posição, seja na ida ou na volta, não esteja definida? Não né? Não importa qual tempo a gente escolha ele vai sempre estar em algum lugar do trajeto! Em outras palavras, tanto X t quanto Y t vão ser contínuas!

Beleza, mas e daí? Veja só. Se vai existir um ponto do trajeto que ele vai passar tanto na ida quanto na volta na mesma hora, isso quer dizer que:

X t 0 = Y t 0

Ou seja, a posição na ida em uma hora t 0 qualquer do dia vai ser a mesma posição na volta na mesma hora t 0 do dia.

Agora veja, se X e Y são funções contínuas, então a função:

F t = X t - Y t

Também vai ser, e vamos ter que

F t 0 = X t 0 - Y t 0 = 0

E olha só olha lá: t 0 vai ser um zero da função F t ! Podemos extrair outras informações sobre F t levando em consideração o trajeto. Saca só:

F 7 h = X 7 h - Y 7 h = 0 - D < 0

F 19 h = X 19 h - Y 19 h = D - 0 > 0

E é ai que ta o pulo do gato! Se:

F 7 h < 0

F t 0 = 0

F 19 h > 0

Então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um t 0   ∈ 7,19 tal que F t 0 = 0 . Se esse t 0 de fato existe, então de fato:

X t 0 = Y t 0

E nosso querido monge acaba passando na mesma hora do dia no mesmo ponto sim!

Resposta

X t = i d a

Y t = v o l t a

F t = X t - Y t

∃   t 0   ∈ 7,19     F t 0 = 0

X t 0 = Y t 0

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