Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Sejam f   : - 1,1 → R e g   :   R → R dadas por

f x = x 2 - x 1 + 3 x 2           e         g x = a x - 5 2 - b x - 2 3

Onde a e b são constantes reais positivas.

c   Prove que g tem pelo menos uma raiz no intervalo 2,5 .

Passo 1

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Se a e b são constantes positivas, como dito no enunciado, basta que provemos que g ( x ) muda de sinal de x = 2 para x = 5 , sendo ela contínua, já que é composta por um polinômio.

g 2 = a 2 - 5 2 - b 2 - 2 3 = 9 a

g 5 = a 5 - 5 2 - b 5 - 2 3 = - 27 b

Dessa forma, g 2 > 0 > g ( 5 ) . Sendo assim, pelo Teorema do Valor Intermediário g ( x ) tem uma raiz, no mínimo, no intervalo ( 2,5 ) já que muda de sinal.

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