Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

e x = 2 - x

tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

Pra usar o TVI, primeiro temos que definir uma função da qual a gente quer a raiz. Então vamos fazer:

e x - 2 + x = 0

Daí definimos:

f x = e x - 2 + x

Passo 2

f é a soma da função exponencial e do polinômio - 2 + x . Como ambos são funções contínuas em todo o R , temos que f é contínua em todo o R .

Então já podemos aplicar o TVI!

Passo 3

Temos que

f 0 = e 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 < 0

f 2 = e 2 - 2 + 2 = e 2 > 0

⇒ f 0 < 0 < f 2

Logo, pelo TVI, garantimos que existe um número real c tal que f c = 0 :

e c - 2 + c = 0

Portanto, c é uma raiz real da equação

e x = 2 - x

Resposta

Pelo TVI, a função f x = e x - 2 + x tem pelo menos uma raiz real.

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