Nos modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração da gravidade g na superfície da terra é constante igual a 9,8 m/s². Na verdade, g é função da latitude θ que, medida em graus, é dada pela seguinte fórmula:

g θ = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 θ + 0,000024 s e n 4 θ

Mostre que existe um θ 0 ∈ 35 ° ,   40 ° tal que g θ 0 = 9,8 .

Passo 1

E aí, galerinha! Nesse exercício queremos provar que é possível encontrar g ( θ 0 ) = 9,8 , pra algum valor θ = θ 0 . Então o que queremos é que:

g θ = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 θ + 0,000024 s e n 4 θ = 9,8

E agora queremos encontrar qual o valor de θ para que isso seja verdade, ou seja, queremos saber se que a equação dada possui pelo menos uma solução (raiz) em um dado intervalo.

Passo 2

Vamos então utilizar nosso teorema do valor intermediário e depois discutir como isso impacta na demonstração do que se pede.

O primeiro passo então é substituirmos os valores dos intervalos na nossa equação dada.

g 35 ° = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 35 ° + 0,000024 s e n 4 35 ° = 9,797

g 40 ° = 9,78049 [ 1 + 0,005264 s e n 2 40 ° + 0,000024 s e n 4 40 ° = 9,810

Note que encontramos dois valores são apresentados, e que g θ 0 = 9,8 está realmente entre esses dois valores. Logo, temos comprovado o pedido no enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |