Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Use o Teorema do Valor intermediário ( T V I ) para mostrar que a equação 2 x - 4 = log 2 ⁡ ( x ) tem uma solução no intervalo ( 2,4 ) .

Passo 1

Bom, pelo T V I temos que uma função que muda de sinal num intervalo onde ela é contínua então ela tem no mínimo uma raiz no intervalo. Usando isso, vou criar uma função para indicar a igualdade acima, saca aqui:

2 x - 4 = log 2 ⁡ x → 2 x - 4 - log 2 ⁡ x = 0

Se eu vier e chamar 2 x - 4 - log 2 ⁡ x de uma função F ( x ) , eu posso dizer que busco os pontos onde F x = 0 , faz sentido? Sendo assim, preciso garantir que F ( x ) mude de sinal no intervalo dado, o que me garantiria raízes de F ( x ) e isso me daria que no mínimo em algum ponto do intervalo vale a igualdade pedida no início, certo? Vamos substituir os pontos das pontas do intervalo, ou seja, F ( 2 ) e F ( 4 ) :

F 2 = 2 2 - 4 - log 2 ⁡ 2 = 4 - 4 - 1 = - 1

F 4 = 2 4 - 4 - log 2 ⁡ 4 = 8 - 4 - 2 = 2

Logo, a função muda de sinal pelo menos uma vez no intervalo, o que me garante que 2 x - 4 = log 2 ⁡ ( x ) tem uma solução no intervalo ( 2,4 ) .

Resposta

( J u s t i f i c a t i v a   a c i m a )

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