Use o Teorema do Valor intermediário ( T V I ) para mostrar que a equação 2 x - 4 = log 2 ⁡ ( x ) tem uma solução no intervalo ( 2,4 ) .

Passo 1

Bom, pelo T V I temos que uma função que muda de sinal num intervalo onde ela é contínua então ela tem no mínimo uma raiz no intervalo. Usando isso, vou criar uma função para indicar a igualdade acima, saca aqui:

2 x - 4 = log 2 ⁡ x → 2 x - 4 - log 2 ⁡ x = 0

Se eu vier e chamar 2 x - 4 - log 2 ⁡ x de uma função F ( x ) , eu posso dizer que busco os pontos onde F x = 0 , faz sentido? Sendo assim, preciso garantir que F ( x ) mude de sinal no intervalo dado, o que me garantiria raízes de F ( x ) e isso me daria que no mínimo em algum ponto do intervalo vale a igualdade pedida no início, certo? Vamos substituir os pontos das pontas do intervalo, ou seja, F ( 2 ) e F ( 4 ) :

F 2 = 2 2 - 4 - log 2 ⁡ 2 = 4 - 4 - 1 = - 1

F 4 = 2 4 - 4 - log 2 ⁡ 4 = 8 - 4 - 2 = 2

Logo, a função muda de sinal pelo menos uma vez no intervalo, o que me garante que 2 x - 4 = log 2 ⁡ ( x ) tem uma solução no intervalo ( 2,4 ) .

Resposta

( J u s t i f i c a t i v a   a c i m a )

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |