29) Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x = a e x = b tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a . b ] e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho com vocês?

Bom, essa questão pede pra gente dar um exemplo de uma função que tenha uma descontinuidade em um intervalo [ a , b ] , que f ( a ) e f ( b ) tenham sinais contrários, mas que não obedeça ao T.V.T(teorema do valor intermediário).

Bora começar revisando esse teorema, que diz o seguinte:

“Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.”

Beleza, precisamos pensar qual função é um bom exemplo.

Passo 2

A ideia aqui é que uma forma da função não obedecer ao T.V.T é ela não ter raiz real, e a sua descontinuidade é o motivo que faz ela trocar de sinal em pontos a e b . Existem algumas funções clássicas que não possuem raiz real, justamente por causa da sua descontinuidade.

A mais conhecida é a hipérbole, que tem equação f x = 1 x .

Esse exemplo é bem interessante porque a descontinuidade ocorre exatamente em x = 0 . Vamos ver como fica o seu gráfico:

Portanto, se a gente escolher, por exemplo, o intervalo [ - 1 ,   1 ] , teremos uma função descontínua, em que f - 1 =   - 1 < 0 e f 1 = 1 > 0 , e que não obedece ao T.V.T.

Prontinho, é ela mesmo que será a nossa resposta 😊

Resposta

f x = 1 x em [ - 1 ,   1 ] .

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |