Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação

10 sin 3 ⁡ x - 7 sin 2 ⁡ x + 20 sin ⁡ x = 14

Tem pelo menos uma raiz no intervalo 0 , π 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa falando do Teorema do Valor Intermediário, você lembra dele?

Esse teorema garante que dada uma função f ( x ) contínua definida em um intervalo [ a , b ] e se d é um número compreendido entre f ( a ) e f ( b ) , então existirá um elemento c que pertence ao intervalo [ a , b ] tal que

f c = d

Nossa função

f x = 10 sin 3 ⁡ x - 7 sin 2 ⁡ x + 20 sin ⁡ x - 14

É contínua pois temos um polinômio com seno, ou seja, tudo bem comportado! Então podemos aplicar nosso teorema!

Queremos saber se dentro do intervalo 0 , π 2 a função apresenta uma raiz. Mas o que significa ter raiz? É o x que retorna zero na função!

Então precisamos garantir que a imagem dos extremos dos intervalos forneça um intervalo em que o 0 seja um elemento! Se isso estiver correto, então garantimos que existe um x ' que dê

f x ' = 0

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nosso intervalo é

0 , π 2

Assim, em x = 0

f 0 = 10 sin 3 ⁡ 0 - 7 sin 2 ⁡ 0 + 20 sin ⁡ 0 - 14 = - 14

E em x = π 2

f π 2 = 10 sin 3 ⁡ π 2 - 7 sin 2 ⁡ π 2 + 20 sin ⁡ π 2 - 14

f π 2 = 10 - 7 + 20 - 14 = 9

Beleza?

Assim temos que o intervalo das imagens é

[ - 14,9 ]

E o 0 está dentro desse intervalo!

Passo 3

Como o elemento 0 está dentro do conjunto das imagens obtidas, garantimos que existe pelo menos um x ' do domínio 0 , π 2 que

f x ' = 0

Não sabemos qual é esse x ' , mas sabemos que ele existe!

f 0 = - 14

f π 2 = 9

Então existe algum xizinho que aí no meio dá zero, já que temos uma função contínua (que não se tira o lápis do papel para desenhar)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |