Seja f ( x )   =   a x ³   +   b x ²   +   c x   +   d , onde a   >   0 e b ,   c ,   d   ∈   R são dados. Calcule os limites no infinito e, em seguida, use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que f possui pelo menos uma raiz. O que se pode dizer se a   <   0 ?

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo?? Seguinte, nós vamos estudar um polinômio tendendo ao infinito (e além kkk, desculpa) e relembrar sobre o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Assim como limites de funções racionais tendendo ao infinito, que nada mais são que polinômios sendo divididos um pelo outro, temos que nos polinômios tendendo ao infinito só nos interessará o termo de grau maior, ou seja: a x 3 .

lim x → ∞ ⁡ a x ³ = ∞

lim x → - ∞ ⁡ a x 3 =   -∞

Passo 2

Como nossa função é contínua -afinal, ela é polinomial- e vai de menos a mais infinito, podemos afirmar pelo Teorema do Valor Intermediário que existem valores m < n tal que f ( m ) < 0 < f ( n ) .

Passo 3

Para a   <   0 :

lim x → ∞ ⁡ a x ³ = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ a x 3 =   + ∞

Ainda seria válido o TVI, portanto há como confirmar que existe no mínimo uma raiz para a função.

E é isso pessoal 😉

Resposta

Os limites são   - ∞ e + ∞ , respectivamente. Deste modo, podemos obter m   <   n tais que f ( m )   <   0   <   f ( n ) . O TVI implica que f   deve se anular em algum ponto do intervalo ( a ,   b ) . O mesmo pode ser dito para a < 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |