Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Mostre que a função

f x =   7 - ( 16 ) 1 x 1 + ( 16 ) 1 x

assume o valor 1 no intervalo ( 2 ,   4 ) .

Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 1

Queremos provar que existe um número c no intervalo 2 ,   4 tal que:

f c = 1

Passo 2

Como vamos fazer isso?

Bom, pelo TVI podemos afirmar que se a função for continua em [ 2,4 ] e assumir valores menores que 1 e maiores que 1 nesse intervalo, ela obrigatoriamente vai assumir o valor 1 em algum momento. Então vamos tentar encontrar pontos que tornem a função menor e maior que   1 .

Como f x é contínua em [ 2 ,   4 ] podemos substituir qualquer valor desse intervalo na função. Vamos testar com x = 2   e   x = 4

f 2 =   7 - ( 16 ) 1 2 1 + ( 16 ) 1 2 = 7 - 4 1 + 4 = 3 5 q u e   é < 1

f 4 = 7 - ( 16 ) 1 4 1 + ( 16 ) 1 4 = 7 - 2 1 + 2 = 5 3 q u e   é > 1

Pronto! Encontramos valores de x que garantem, pelo TVI, que no intervalo ( 2 ,   4 ) existe um numero c tal que f ( c ) = 1

Resposta

Existe c ∈ ( 2 ,   4 ) tal que f c = 1

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