Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

A partir dos gráficos abaixo, justifique, se para cada função:

  1. A tese do Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.
  2. A hipótese Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.

Obs: A tese pode ser interpretada como o “resultado” de um teorema. A hipótese pode ser interpretada como a “condição” para que o teorema funcione.

a):

b):

c):

Passo 1

Bom galera, a primeira coisa que a gente precisa pensar é quem é a tese e quem é a hipótese do TVI.

Basicamente:

A hipótese é a função ser contínua no intervalo [ a , b ] , além de f a ≠ f b . Ou seja, essa é a condição.

E a tese é que, seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , então existe c tal que f c = N .

Em outras palavras, o teorema diz que para todos os valores da função entre f ( a ) e f ( b ) , o c correspondente vai estar entre a e b , ou: c ∈ a , b .

Passo 2

Vamos lá:

a):

Primeiro:

f a ≠ f b ? … S i m !

A função é contínua em [ a , b ] ? Não, tem uma descontinuidade ali no gráfico.

Porém, se você reparar bem, para todos os pontos da função naquele intervalo, sempre existe um c que gera o valor da função nesse ponto, e c sempre pertence a [ a , b ] .

Isso acontece mesmo na descontinuidade com um salto!!!!.

Então, mesmo a função sendo descontínua:

A tese é atendida.

A hipótese não é atendida.

Passo 3

b):

Vamos lá de novo:

Primeiro:

f a ≠ f b ? … S i m !

A função é contínua em [ a ,   b ] ? Não, Ela também possui uma descontinuidade. Porém, vamos analisar essa descontinuidade:

Ela acontece no y correspondente ao f c 0 . Mas onde está esse c 0 ? Dentro do intervalo a , b ?

Não, ele não tá ali, pois c 0 > b . Isso quebra o resultado do teorema, pois dentro do intervalo vai existir um número cuja imagem na função não existe. Ou seja, não existe f ( c ) para o c da imagem abaixo:

Então:

A tese não é atendida.

A hipótese não é atendida.

Passo 4

c):

Vamos lá de novo:

Primeiro:

f a ≠ f b ? … S i m !

A função é contínua em [ a , b ] ? Sim! Claramente contínua.

A pergunta é: Existe o tal do c ? Claro que sim! Se a tese e a hipótese são atendidas, o teorema tem o seu sentido completo!

Na verdade, existem vários c ' s , se você procurar, como por exemplo:

Então:

A tese é atendida.

A hipótese é atendida.

Resposta

a):

A tese é atendida.

A hipótese não é atendida.

b):

A tese não é atendida.

A hipótese não é atendida.

c):

A tese é atendida.

A hipótese é atendida.

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