Seja f uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e suponha que f ( a )   e f ( b ) possuam sinais opostos. Sabemos pelo Teorema do Anulamento que f   possui pelo menos uma raiz no intervalo ( a ,   b ) . Descubra uma estratégia que possa ser implementada em um computador para encontrar essa raiz.

Passo 1

Faaala galera 😊, vamos apenas conversar sobre como podemos arquitetar uma solução computadorizada que encontre sempre a raiz de uma função contínua no intervalo fechado [ a , b ] , sabendo que f ( a ) e f(b) possuem sinais opostos. Para tal, podemos aplicar o método da bissecção.

Pensemos o seguinte, sabe-se que nossa raiz está no intervalo fechado [ a ,   b ] , visto o teorema do anulamento. Utilizemos um intervalo exemplo [ 1,4 ] :

Sabendo que em f A = f ( 1 ) a função assume um sinal e em f B = f ( 4 ) ela assume outro, sabemos que a raiz vai ser esse divisor que indica quando há a inversão de sinal na imagem da função. Se a priori calcularmos o ponto médio do nosso intervalo:

p 0 = A + B 2

Teremos três chances de resultado:

i- f p 0 = 0

Ou seja, achamos nossa raiz

ii- f p 0 possui mesmo sinal que f ( A )

Nesse caso, temos que como o sinal da função foi mantido de A até p 0 , ainda não se alcançou a raiz, então ela está no intervalo [ p 0 , B ] .

iii- f p 0 possui mesmo sinal que f ( B )

Nesse caso, temos que como o sinal da função foi invertido de A até p 0 , então em algum momento se passou pela raiz, então ela está no intervalo [ A , p 0 ] .

Perceba que, se não achamos a raiz de primeira ao menos reduzimos pela metade o intervalo a ser estudado. Se continuarmos aplicando esse método, reduzindo o intervalo possível onde a raiz está pela metade, uma hora vamos chegar a valores que vão se aproximar muito do que queremos. Esse processo pode ou não demorar, de formar que talvez sejam necessários alguns ciclos de tentativa, por isso a execução dessa lógica em um programa computacional tornaria o processo muito mais rápido.

Resposta

Aplicação do Método da Bissecção

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |