27) Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 t g ( x ) têm intersecção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 , π 2 .

Passo 1

Faaaala pessoal!!

Questão bem interessante, com uma aplicação legal do teorema do valor intermediário.

Basicamente, ela pede pra gente provar que a reta y = 1 e a curva y = x 2 t g ( x ) possuem um ponto em comum, ou seja, se cruzam.

Mas, tem outra forma de visualizar o mesmo problema. Vamos definir duas funções, f x = 1 e g x = x 2 t g ( x ) . Outra forma de enunciar esse exercício, é dizer que queremos provar que f x = g ( x ) para pelo menos um valor de x .

f x = g x ⇔ g x - f x = 0

Então, bora usar uma sacada bem legal, vamos criar uma função:

h x = g x - f ( x ) .

Agora, pra provar que y = 1 e y = x 2 ⋅ t g ( x ) se intersectam em - π 2 , π 2 basta mostrarmos que h x = 0 em pelo menos um ponto desse mesmo intervalo.

Passo 2

Po, mas se queremos mostrar que h x = 0 em pelo menos um ponto do intervalo ( - π 2 , π 2 ) , temos que usar justamente o teorema do valor intermediário! Ele diz o seguinte:

Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.

Massa! Seguido esse raciocínio, vamos escolher dois pontos de - π 2 , π 2 e testar o valor de h .

Como o intervalo é aberto em ±   π / 2 , precisamos calcular o lim x → ± π 2 ⁡ h ( x ) . Daí:

lim x → - π 2 ⁡ x 2 ⋅ t g x - 1 =   - ∞

Pois t g x →   - ∞ quando x →   - π 2 .

Analogamente:

lim x → π 2 ⁡ x 2 ⋅ t g x - 1 =   + ∞

Pois t g x →   + ∞ quando x →   - π 2 .

Ou seja, no intervalo considerado temos valores de x que resultam em h < 0 e valores que resultam em h > 0 . Como a função que definimos é contínua nesse intervalo, pelo teorema do valor intermediário, existem pontos tais que h = 0 .

E se h = 0 , então f x = g ( x ) e assim conseguimos provar que existe pelo menos um ponto de intersecção entre y = 1 e y = x 2 t g ( x ) .

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |