Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

e x = 2 cos ⁡ ( x )

possui uma solução positiva.

Passo 1

Primeiro, vamos ajeitar essa equação colocando todas as funções do mesmo lado:

e x - 2 cos ⁡ ( x ) = 0

Se chamarmos e x - 2 cos ⁡ ( x ) de f a equação dada equivale a:

f x = 0

Agora nosso problema se resume em provar que existe um número positivo c que seja raíz dessa função f , ou seja:

f c = 0

Passo 2

Bom, o TVI garante que se uma função muda de sinal dentro de um intervalo fechado, com certeza existe um ponto nesse intervalo em que a função é igual a zero. Como a função f envolve a função trigonométrica cos ⁡ ( x ) , vamos escolher o primeiro quadrante para trabalhar, ou seja, o intervalo fechado I =   0 ,   π / 2 . Temos então que descobrir se f muda de sinal nesse intervalo.

Vamos testar com os extremos de I :

f 0 =   e 0 - 2 cos ⁡ 0 = 1 - 2 =   - 1   q u e   é < 0

f π 2 = e π 2 - 2 cos ⁡ π 2 =   e π 2 - 2 ∙ 0 =   e π 2   q u e   é > 0

Funcionou! Conseguimos ver que a função mudou de sinal no intervalo I . Portanto, existe c   ∈   ( 0 ,   π / 2 ) tal que f c = 0 , isto é, existe uma solução positiva pra função f .

Resposta

Existe solução positiva para a equação dada.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |