Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

e x = 2 cos ⁡ ( x )

possui uma solução positiva.

Passo 1

Primeiro, vamos ajeitar essa equação colocando todas as funções do mesmo lado:

e x - 2 cos ⁡ ( x ) = 0

Se chamarmos e x - 2 cos ⁡ ( x ) de f a equação dada equivale a:

f x = 0

Agora nosso problema se resume em provar que existe um número positivo c que seja raíz dessa função f , ou seja:

f c = 0

Passo 2

Bom, o TVI garante que se uma função muda de sinal dentro de um intervalo fechado, com certeza existe um ponto nesse intervalo em que a função é igual a zero. Como a função f envolve a função trigonométrica cos ⁡ ( x ) , vamos escolher o primeiro quadrante para trabalhar, ou seja, o intervalo fechado I =   0 ,   π / 2 . Temos então que descobrir se f muda de sinal nesse intervalo.

Vamos testar com os extremos de I :

f 0 =   e 0 - 2 cos ⁡ 0 = 1 - 2 =   - 1   q u e   é < 0

f π 2 = e π 2 - 2 cos ⁡ π 2 =   e π 2 - 2 ∙ 0 =   e π 2   q u e   é > 0

Funcionou! Conseguimos ver que a função mudou de sinal no intervalo I . Portanto, existe c   ∈   ( 0 ,   π / 2 ) tal que f c = 0 , isto é, existe uma solução positiva pra função f .

Resposta

Existe solução positiva para a equação dada.

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