Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Questão 4:

Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação cos ⁡ x + 1 = x 2 tem uma solução no 0 , π 2 .

Passo 1

Cara, vamos primeiro aqui passar esse x 2 pro outro lado...

cos ⁡ x + 1 = x 2       →             cos ⁡ x + 1 - x 2 = 0

Então se a gente chamar esse lado direito de uma f x ...

f x = cos ⁡ x + 1 - x 2

Então o que na realidade buscamos é a raiz dessa função, ou seja, o valor de x que zera ela:

f x = 0

Passo 2

Cara, pelo o Teorema do Valor Intermediário, TVI, o que devemos fazer é verificar os pontos:

0 , π 2

Tipo, veja o f 0 ...

f x = cos ⁡ x + 1 - x 2

f 0 = cos ⁡ 0 + 1 - 0 2 = 2

E o π / 2 ...

f π 2 = cos ⁡ π 2 + 1 - π 2 2 = 1 - π 2 4

Bem, como π é um número maior que 3 esse número é negativo. Então pensa, se existe um f 0 é maior que 0 e f π 2 é menor, então existe algum ponto entre 0 e π 2 em que a função se anula, afinal de contas ela é contínua em todos os pontos desse intervalo, sacou?

Passo 3

Mais formalmente falando, como a função é contínua no intervalo 0 , π 2 e...

f π 2 = 1 - π 2 4 < d < f 0 = 2

então existe um x 0 tal que...

f x 0 = d = 0

Então f possui pelo menos uma raiz nesse intervalo ;)

Resposta

f π 2 = 1 - π 2 4 < d < f 0 = 2

Existe um x 0 ...

f x 0 = d = 0

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
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