23- Prove que a equação sen ⁡ x - ln ⁡ x = 0 possui uma solução no intervalo 1 ,   e , onde e é a constante de Euler.

Passo 1

Fala aí pessoal. Tudo certinho por aí???

Bora entender essa questão. Ela está dando essa equação sen ⁡ x - ln ⁡ x = 0 e diz pra gente que existe uma solução no intervalo 1 ,   e .

A ideia aqui é transformar a equação em uma função do tipo:

f x = sen ⁡ x - ln ⁡ x

Vamos analisar nos extremos do intervalo para ver o sinal que ela possui. Assim se em um extremo ela for positiva e no outro negativa, significa que a função cortou o eixo x , e a equação tem uma raiz nesse intervalo. Essa é a ideia o Teorema do Valor Intermediário.

Então bora encarar mais essa questão junto comigo?

Passo 2

Fazendo f ( 1 )

f 1 = sen ⁡ 1 - ln ⁡ 1

Como ln ⁡ 1 = 0

f 1 = sen ⁡ 1

E f 1 = sen ⁡ 1 > 0

Ou seja, a função é positiva nesse extremo.

Agora, fazendo f ( e )

f e = sen ⁡ e - ln ⁡ e

Como ln ⁡ e = 1 e

f e = sen ⁡ e - 1 < 0

Ou seja, a função é negativa nesse extremo. O que nos garante que ela cortou o eixo x .

Assim, concluímos que existe uma solução para a equaç��o sen ⁡ x - ln ⁡ x = 0 no intervalo 1 ,   e .

Resposta

Resolução nos passos acima

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |