22- Seja f x = e x e g x = - x 2 + 4 . Mostre que existe x   ∈ 0 ,   2 tal que f x = g ( x ) .

Passo 1

Fala aí pessoal. Tudo certinho por aí???

Bora entender essa questão. Ela está dando duas funções pra gente: f x = e x e g x = - x 2 + 4 , e dizendo eu no intervalo 0 ,   2 existe um x que onde f x = g ( x ) , e pediu pra gente provar que isso é verdade.

O que queremos é que essa equação

e x = - x 2 + 4

Tenha uma solução no intervalo ( 0 ,   2 ) .

Então, a ideia aqui é transformar a equação em uma função do tipo:

f x = e x + x 2 - 4

Vamos analisar nos extremos do intervalo para ver o sinal que ela possui. Assim se em um extremo ela for positiva e no outro negativa, significa que a função cortou o eixo x , e a equação tem uma raiz nesse intervalo. Essa é a ideia o Teorema do Valor Intermediário.

Então bora encarar mais essa questão junto comigo?

Passo 2

Fazendo f ( 0 )

f 0 = e 0 + 0 2 - 4

f 0 = 1 - 4

f 0 = - 3

Ou seja, a função é negativa nesse extremo.

Agora, fazendo f ( 2 )

f 2 = e 2 + 2 2 - 4

f 2 = e 2 + 4 - 4

f 2 = e 2

Ou seja, a função é positiva nesse extremo. O que nos garante que ela cortou o eixo x .

Assim, concluímos que existe x   ∈ 0 ,   2 tal que f x = g x .

Resposta

Resolução nos passos acima

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( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |