Determine o valor de a para que a equação x 3 + 3 x 2 - 9 x + a = 0 admita uma única raiz real.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... Para que a equação x 3 + 3 x 2 - 9 x + a = 0 admita uma única raiz real, ela deve ter uma raiz de multiplicidade 3 .

Isso significa que a raiz deve ser uma raiz tripla, pois uma raiz de multiplicidade 3 conta como uma única raiz real.

Dessa forma, devemos derivar a função e igualar a zero a fim de determinarmos o valor de a .

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Assim, derivando a função, temos:

3 x 2 + 6 x - 9 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontraremos x = 1 e x = - 3 .

Dessa forma, vamos analisar o sinal da função para os dois valores:

f 1 = 1 3 + 3 1 2 - 9 1 + a ∴

f 1 = - 5 + a

E

f - 3 = - 3 3 + 3 - 3 2 - 9 - 3 + a ∴

f - 3 = 27 + a

Passo 3

Agora, pelo Teorema do Valor intermediário, se f é contínua em todo o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f b então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L .

Assim, aplicando esse Teorema, temos:

- 5 + a > 0 ∴

a > 5

E

27 + a < 0 ∴

a < - 27

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a > 5

Ou

a < - 27

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |