Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

Elaboração própria

Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x   =   a   e   x   =   b , a função tenha sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a ,   b ] e

a ) a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

b )   a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Passo 1

Em primeiro lugar, lembraremos o que o Teorema do Valor Intermediário fala. Em resumo, temos que para todos os valores de uma função entre f ( a ) e f ( b ) , um valor c correspondente vai estar entre a e b , ou seja, c ∈ a , b . E é através desse valor intermediário c , que vamos saber se a tese do TVI é verdadeira ou falsa.

É bom dizer que essa questão tem uma série de resultados possíveis, aqui vamos apresentar apenas um deles.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  1. Aqui procuramos uma função que não seja contínua, vamos criar uma qualquer,

f x = x 2 - 1 ,     x ≠ 1   ;   x ≠ 2 3 ,     x = 1 0 ,                             x = 2

Repara, a função tem duas descontinuidades uma em x = 1 e outra em x = 2 .

Agora precisamos de dois pontos ( x   =   a   e   x   =   b ) que tenham sinais contrários. Podemos adotar a = 0   e   b = 3 , pois nesse intervalo nós temos as descontinuidades em x = 1 e x = 2 .

Como estamos dizendo que a função não é continua, vamos ver se os limites laterais batem com as funções em 1 e 2 :

lim x → 1 ⁡ f x = 1 2 - 1 = 0 ≠ f 1 = 3

lim x → 2 ⁡ f x = 2 2 - 1 = 3 ≠ f 2 = 0

Bom, tendo duas descontinuidades, não teríamos qualquer c entre f a e f b aparecendo. Contudo, repara que o limite para x → 1 aparece em f 2 e o de x → 2 em f 1 .

Com isso, cobrimos todos os possíveis valores entre   f 0   e   f 3 .

f 0 = 0 2 - 1 = - 1

f 3 = 3 2 - 1 = 8

Passo 3

b Agora a gente quer uma função onde o TVI seja falso. Então vamos mudar a função do item a para que ela seja valida. Para isso basta a gente retirar um dos valores entre - 1 e 8 que a função assume, ou seja:

f x = x 2 - 1 ,     x ≠ 1 3 ,     x = 1

Nesse caso a descontinuidade está em 1 e para o mesmo intervalo 0,3 , não teríamos nenhum ponto c , onde f c = 0 , pois f 1 = 3

Assim, vemos que a função não comprovará a tese do TVI, de cobrir todos os N ’s possíveis entre f a = f 0 e f b = f 3

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